Viết hệ bất phương trình từ miền đa giác

Viết hệ có miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0;\,0)$, $A(4;\,0)$, $B(0;\,3)$.

Giải. Cạnh $OA$ nằm trên trục $Ox$: $y = 0$. Cạnh $OB$ nằm trên trục $Oy$: $x = 0$. Cạnh $AB$: $\dfrac x4 + \dfrac y3 = 1$, tức $3x + 4y = 12$ (kiểm: $A$: $12$; $B$: $12$).

Điểm trong: $I(1;\,1)$. $y = 0$: $1 > 0$ nên $y \ge 0$. $x \ge 0$ tương tự. $3\cdot 1 + 4\cdot 1 = 7 < 12$ nên $3x + 4y \le 12$. Hệ:

Kiểm đỉnh $A$, $B$ vừa thoả vừa nằm trên hai bờ: $A$: $x \ge 0$, $y = 0$, $12 = 12$. Đúng.

Viết hệ có miền nghiệm là hình thang $ABCD$ với $A(1;\,1)$, $B(5;\,1)$, $C(4;\,3)$, $D(2;\,3)$.

Giải. Đáy $AB$: $y = 1$; đáy $CD$: $y = 3$.

Cạnh $BC$: vectơ $\overrightarrow{BC} = (-1;\,2)$, đường thẳng qua $B(5;\,1)$ có dạng $2(x - 5) + 1\cdot(y - 1) = 0 \Rightarrow 2x + y = 11$ (kiểm $C$: $8 + 3 = 11$).

Cạnh $DA$: $\overrightarrow{AD} = (1;\,2)$; qua $A(1;\,1)$: $2(x - 1) - (y - 1) = 0 \Rightarrow 2x - y = 1$ (kiểm $D$: $4 - 3 = 1$).

Điểm trong $I(3;\,2)$: $y = 2$ nên $1 \le y \le 3$. $2\cdot 3 + 2 = 8 < 11$ nên $2x + y \le 11$. $2\cdot 3 - 2 = 4 > 1$ nên $2x - y \ge 1$. Hệ:

Kiểm đỉnh: $y = 1$ và $2x - y = 1$ cho $x = 1$ (đỉnh $A$); $y = 1$ và $2x + y = 11$ cho $x = 5$ ($B$); $y = 3$ và $2x + y = 11$ cho $x = 4$ ($C$); $y = 3$ và $2x - y = 1$ cho $x = 2$ ($D$). Đúng bốn đỉnh.

Hình vẽ cho miền nghiệm nằm trong góc phần tư thứ nhất, bị giới hạn phía dưới bởi đường gấp khúc qua $(0;\,6)$, $(2;\,2)$, $(6;\,0)$; miền kéo dài ra vô hạn về phía trên-phải. Viết hệ tương ứng.

Giải. Hai đoạn gấp khúc: qua $(0;\,6)$ và $(2;\,2)$; qua $(2;\,2)$ và $(6;\,0)$. Đường thứ nhất: vectơ $(2;\,-4)$, hệ số góc $-2$: $2x + y = 6$ (kiểm: $0 + 6$, $4 + 2$). Đường thứ hai: vectơ $(4;\,-2)$: $x + 2y = 6$ (kiểm: $2 + 4$, $6 + 0$).

Điểm trong $I(3;\,3)$: $2\cdot 3 + 3 = 9 > 6$ nên $2x + y \ge 6$; $3 + 6 = 9 > 6$ nên $x + 2y \ge 6$. Miền ở trong góc phần tư thứ nhất: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Hệ:

Kiểm đỉnh: $x = 0$ với $2x + y = 6$ cho $(0;\,6)$, thoả $x + 2y = 12 \ge 6$; $y = 0$ với $x + 2y = 6$ cho $(6;\,0)$, thoả $2x + y = 12 \ge 6$; hai đường cắt nhau tại $(2;\,2)$. Đúng ba đỉnh; không có cạnh nào chặn phía trên-phải, nên miền không bị chặn.

Viết hệ có miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ với $A(0;\,0)$, $B(6;\,0)$, $C(5;\,4)$, $D(0;\,3)$.

Giải. $AB$: $y = 0$; $DA$: $x = 0$.

$BC$: $\overrightarrow{BC} = (-1;\,4)$; qua $B(6;\,0)$: $4(x - 6) + 1\cdot(y - 0) = 0 \Rightarrow 4x + y = 24$ (kiểm $C$: $20 + 4 = 24$).

$CD$: $\overrightarrow{DC} = (5;\,1)$; qua $D(0;\,3)$: $1\cdot(x - 0) - 5(y - 3) = 0 \Rightarrow x - 5y = -15$ (kiểm $C$: $5 - 20 = -15$).

Điểm trong $I(1;\,1)$: $4 + 1 = 5 < 24$ nên $4x + y \le 24$; $1 - 5 = -4 > -15$ nên $x - 5y \ge -15$. Hệ:

Kiểm: $4x + y = 24$ và $x - 5y = -15$: từ phương trình sau $x = 5y - 15$, thay vào: $20y - 60 + y = 24 \Rightarrow y = 4$, $x = 5$: đỉnh $C(5;\,4)$. Đúng.

Viết hệ có miền nghiệm là tam giác $ABC$ với $A(2;\,-1)$, $B(5;\,3)$, $C(-1;\,2)$.

Giải.

• $AB$: $\overrightarrow{AB} = (3;\,4)$; qua $A$: $4(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \Rightarrow 4x - 3y = 11$ (kiểm $B$: $20 - 9 = 11$).
• $BC$: $\overrightarrow{BC} = (-6;\,-1)$; qua $B$: $-1\cdot(x - 5) + 6(y - 3) = 0 \Rightarrow x - 6y = -13$ (kiểm $C$: $-1 - 12 = -13$).
• $CA$: $\overrightarrow{CA} = (3;\,-3)$; qua $C$: $x + y = 1$ (kiểm $A$: $2 - 1 = 1$).

Điểm trong: trọng tâm $G\left(2;\ \tfrac43\right)$. $4\cdot 2 - 3\cdot\tfrac43 = 4 < 11$, nên $4x - 3y \le 11$. $2 - 6\cdot\tfrac43 = -6 > -13$, nên $x - 6y \ge -13$. $2 + \tfrac43 = \tfrac{10}3 > 1$, nên $x + y \ge 1$. Hệ: