Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm

Cho bất phương trình $2x - 3y + 6 \ge 0$. Trong các cặp $(0;\,1)$, $(3;\,4)$, $(-5;\,1)$, cặp nào là nghiệm?

Giải.

• $(0;\,1)$: $2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 6 = 3 \ge 0$, đúng. Là nghiệm.
• $(3;\,4)$: $6 - 12 + 6 = 0 \ge 0$, đúng (dấu "$=$"). Là nghiệm, nằm đúng trên đường thẳng $2x - 3y + 6 = 0$.
• $(-5;\,1)$: $-10 - 3 + 6 = -7 \ge 0$, sai. Không là nghiệm.

Cặp $(3;\,4)$ có là nghiệm của $2x - 3y + 6 > 0$ không?

Giải. Giá trị vế trái là $0$, và $0 > 0$ sai. Không là nghiệm. Cùng một điểm nhưng đổi dấu "$\ge$" thành "$>$" thì kết luận đổi: các điểm nằm trên đường thẳng không thuộc tập nghiệm của bất phương trình nghiêm ngặt.

Cặp $(1;\,2)$ có là nghiệm của hệ

không? Cặp $(2;\,6)$ thì sao?

Giải. Với $(1;\,2)$: $1 + 2 = 3 \le 4$ đúng; $3 - 2 = 1 > 0$ đúng. Là nghiệm của hệ. Với $(2;\,6)$: $2 + 6 = 8 \le 4$ sai, dừng lại ở đây: không là nghiệm của hệ (dù bất phương trình thứ hai $6 - 6 = 0 > 0$ cũng sai).

Tìm $m$ để điểm $(m;\, m + 1)$ là nghiệm của $2x - 3y + 6 \ge 0$.

Giải. Thay $x = m$, $y = m + 1$:

Vậy mọi $m \le 3$. (Kiểm tra: $m = 0$ cho điểm $(0;\,1)$, đã biết là nghiệm; $m = 4$ cho $(4;\,5)$: $8 - 15 + 6 = -1 < 0$, không là nghiệm.)

Tìm $m$ để $(m;\, m + 1)$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} 2x - 3y + 6 \ge 0 \\ 3x - y - 5 < 0 \end{cases}$.

Giải. Bất phương trình thứ nhất cho $m \le 3$ (ví dụ 4). Bất phương trình thứ hai: $3m - (m + 1) - 5 = 2m - 6 < 0 \iff m < 3$. Cần cả hai nên $m < 3$.

Với tình huống mua bút, vở ở phần khởi động ($5x + 12y \le 60$): (a) viết đầy đủ các điều kiện của ẩn; (b) có bao nhiêu cách mua nếu cả $x$, $y$ đều là số nguyên không âm?

Giải. (a) $x$, $y$ là số cái nên $x \ge 0$, $y \ge 0$ và nguyên; điều kiện tiền $5x + 12y \le 60$.

(b) Cho $y$ chạy từ $0$, tìm $x$ lớn nhất:

$y \ge 6$ thì $12y \ge 72 > 60$, không còn cách nào. Tổng cộng $13 + 10 + 8 + 5 + 3 + 1 = 40$ cách (kể cả cách mua không gì cả).