Các khái niệm mở đầu về vectơ

Cho năm điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác $\vec 0$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc năm điểm đó?

Giải. Chọn điểm đầu: $5$ cách; điểm cuối khác điểm đầu: $4$ cách. Có $5\cdot 4 = 20$ vectơ.

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Tìm các vectơ bằng $\overrightarrow{OA}$, có điểm đầu và điểm cuối lấy trong bảy điểm $A, B, C, D, E, F, O$.

Giải. Lục giác đều được chia thành sáu tam giác đều cạnh bằng $OA$. Các đoạn song song với $OA$ và dài bằng $OA$ là $DO$, $CB$, $EF$ (đoạn $AD$ cũng cùng giá nhưng dài gấp đôi nên loại). Chọn chiều cùng hướng với $O \to A$:

Hình thoi $ABCD$ cạnh $4$, $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Tính $\left\lvert\overrightarrow{AC}\right\rvert$ và $\left\lvert\overrightarrow{BD}\right\rvert$.

Giải. Tam giác $ABD$ cân có góc ở đỉnh $60^\circ$ nên đều: $BD = 4$. Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm $O$ của mỗi đường, $AO = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt3$, nên $AC = 4\sqrt3$. Vậy $\left\lvert\overrightarrow{AC}\right\rvert = 4\sqrt3$, $\left\lvert\overrightarrow{BD}\right\rvert = 4$.

Tam giác $ABC$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Tìm các vectơ bằng $\overrightarrow{NP}$ có hai đầu mút trong sáu điểm đã cho.

Giải. $NP$ là đường trung bình: $NP \parallel BC$ và $NP = \dfrac12 BC = BM = MC$. Đi từ $N$ (trên cạnh $CA$) sang $P$ (trên cạnh $AB$) cùng chiều với đi từ $C$ sang $B$. Vậy