Phương trình vô tỉ không mẫu mực

Giải $x^3 + \sqrt{x - 1} = 9$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge 1$. Trên $[1; +\infty)$, $x^3$ và $\sqrt{x - 1}$ đều đồng biến nên $f(x) = x^3 + \sqrt{x - 1}$ đồng biến, và $f(x) = 9$ có nhiều nhất một nghiệm. Thử $x = 2$: $8 + 1 = 9$. Vậy $S = \{2\}$.

Giải $\sqrt{x + 7} - \sqrt{2x + 5} = x - 2$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge -\dfrac52$. Thử $x = 2$: $3 - 3 = 0 = 2 - 2$, nên đoán $x_0 = 2$. Hiệu hai biểu thức dưới căn: $(x + 7) - (2x + 5) = 2 - x$. Đặt $D = \sqrt{x + 7} + \sqrt{2x + 5} > 0$. Khi đó

Phương trình thành $\dfrac{2 - x}{D} = x - 2$, tức $(x - 2)\left(1 + \dfrac1D\right) = 0$. Vì $1 + \dfrac1D > 0$ nên $x = 2$. Vậy $S = \{2\}$.

Giải $\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = x^2 - 4x + 6$.

Giải. ĐKXĐ: $1 \le x \le 3$. Vế trái: $(\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x})^2 \le 2\big((x - 1) + (3 - x)\big) = 4$, nên vế trái $\le 2$, dấu bằng khi $x - 1 = 3 - x$, tức $x = 2$. Vế phải: $x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2 \ge 2$, dấu bằng khi $x = 2$. Hai vế bằng nhau chỉ khi cùng bằng $2$, tức $x = 2$. Thử: $1 + 1 = 2$ và $4 - 8 + 6 = 2$. Vậy $S = \{2\}$.

Giải $\sqrt{x + 4} + \sqrt{2x - 1} = x + 1$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge \dfrac12$. Thử $x = 5$: $3 + 3 = 6 = 5 + 1$, đoán $x_0 = 5$. Chuyển vế và nhóm mỗi căn với $3$:

Nhân liên hợp: $\sqrt{x + 4} - 3 = \dfrac{x - 5}{\sqrt{x + 4} + 3}$ và $\sqrt{2x - 1} - 3 = \dfrac{2(x - 5)}{\sqrt{2x - 1} + 3}$. Phương trình thành

Xét ngoặc vuông $h(x)$: hai phân số đều giảm khi $x$ tăng, nên với $x \ge \dfrac12$ có $h(x) \le \dfrac1{\sqrt{4{,}5} + 3} + \dfrac2{0 + 3} - 1 \approx 0{,}195 + 0{,}667 - 1 = -0{,}138 < 0$. Vậy ngoặc vuông không bao giờ bằng $0$, chỉ còn $x = 5$. $S = \{5\}$.