Ứng dụng thực tế: đo chiều cao và khoảng cách

Một bạn đứng cách chân cột cờ $15$ m, mắt cao $1{,}5$ m so với mặt đất, nhìn đỉnh cột với góc nâng $40^\circ$. Tính chiều cao cột cờ.

Giải. Phần cột phía trên tầm mắt: $15\tan 40^\circ \approx 12{,}59$ m. Chiều cao cột: $\approx 12{,}59 + 1{,}5 \approx 14{,}09$ m.

Muốn đo chiều cao một ngọn đồi, người ta đứng tại $A$ đo được góc nâng tới đỉnh $T$ là $35^\circ$, đi thẳng về phía đồi thêm $30$ m tới $B$ đo được góc nâng $50^\circ$. Tính chiều cao đồi (bỏ qua chiều cao máy đo).

Giải. Trong tam giác $ABT$: $\widehat{TAB} = 35^\circ$, $\widehat{ABT} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$, nên $\widehat{ATB} = 15^\circ$. Định lí sin:

Trong tam giác vuông $BHT$: $TH = BT\sin 50^\circ \approx 50{,}93$ m.

Hai đầu $P$, $Q$ của một hồ nước không đo trực tiếp được. Từ điểm $O$ trên bờ, người ta đo được $OP = 120$ m, $OQ = 90$ m, $\widehat{POQ} = 70^\circ$. Tính $PQ$.

Giải. $PQ^2 = 120^2 + 90^2 - 2\cdot 120\cdot 90\cos 70^\circ \approx 15\,112{,}4$, nên $PQ \approx 122{,}93$ m.

Từ hai điểm $A$, $B$ trên một bờ sông thẳng, cách nhau $50$ m, người ta nhìn một cái cây $C$ ở bờ bên kia, đo được $\widehat{CAB} = 62^\circ$ và $\widehat{CBA} = 70^\circ$. Tính khoảng cách từ cây đến bờ sông bên này.

Giải. $\widehat{ACB} = 180^\circ - 62^\circ - 70^\circ = 48^\circ$. Định lí sin:

Khoảng cách từ $C$ tới đường thẳng $AB$ là đường cao: $AC\sin 62^\circ \approx 55{,}82$ m.

Một tàu rời cảng $O$ đi theo hướng N$40^\circ$E được $30$ km tới $P$, rồi đổi sang hướng chính Đông đi thêm $20$ km tới $Q$. Tính khoảng cách $OQ$ và hướng từ $O$ tới $Q$.

Giải. Tại $P$, hướng cũ lệch Bắc $40^\circ$, hướng mới lệch Bắc $90^\circ$: tàu rẽ phải $50^\circ$, nên góc trong của tam giác tại $P$ là $\widehat{OPQ} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Góc $\widehat{POQ}$: $\sin\widehat{POQ} = \dfrac{20\sin 130^\circ}{OQ} \approx 0{,}3366$, góc này nhọn (đối diện cạnh nhỏ), $\widehat{POQ} \approx 19^\circ 40'$. Vậy hướng từ $O$ tới $Q$ là N$\,(40^\circ + 19^\circ 40')\,$E $=$ N$59^\circ 40'$E.