Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = ax + by trên miền nghiệm

Trên miền nghiệm của hệ $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 4$, $y - x \le 2$ (đỉnh $O(0;\,0)$, $A(4;\,0)$, $B(1;\,3)$, $C(0;\,2)$), tìm GTLN, GTNN của $F = 2x + 3y$.

Giải.

$\max F = 11$ tại $B(1;\,3)$; $\min F = 0$ tại $O(0;\,0)$.

Cũng trên miền đó, tìm GTLN, GTNN của $F = x - y$.

Giải. $F(O) = 0$, $F(A) = 4$, $F(B) = 1 - 3 = -2$, $F(C) = 0 - 2 = -2$.

$\max F = 4$ tại $A(4;\,0)$. $\min F = -2$, đạt cả hai đỉnh $B$ và $C$, nên đạt tại mọi điểm của cạnh $BC$. Lí do: cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng $y - x = 2$, mà $F = x - y = -(y - x) = -2$ không đổi dọc theo nó: đường mức $F = -2$ trùng với cạnh $BC$.

Tìm GTLN, GTNN của $F = 3x - 2y$ trên miền nghiệm của $2x - y \ge 0$, $x + y \le 6$, $y \ge 0$ (tam giác $O(0;\,0)$, $M(6;\,0)$, $N(2;\,4)$).

Giải. $F(O) = 0$, $F(M) = 18$, $F(N) = 6 - 8 = -2$. $\max F = 18$ tại $M(6;\,0)$; $\min F = -2$ tại $N(2;\,4)$.

Tìm GTLN, GTNN của $F = x + 2y$ trên miền nghiệm của $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$, $y \le 3$, $x + y \le 6$.

Giải. Đỉnh $(0;\,0)$, $(4;\,0)$, $(4;\,2)$, $(3;\,3)$, $(0;\,3)$ (bài 3):

$\max F = 9$ tại $(3;\,3)$; $\min F = 0$ tại $(0;\,0)$. Chú ý: nếu chỉ tính $F$ tại góc hình chữ nhật bị cắt $(4;\,3)$ thì được $10$, nhưng $(4;\,3)$ không thuộc miền (vì $4 + 3 = 7 > 6$). Luôn dùng đúng các đỉnh của miền nghiệm.

Cho miền nghiệm của $3x + y \ge 9$, $x + 2y \ge 8$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ (đỉnh $(0;\,9)$, $(2;\,3)$, $(8;\,0)$, không bị chặn). (a) Tìm GTNN của $F = x + y$; (b) $F = 2x - y$ có GTLN, GTNN không?

Giải. (a) Hướng ra xa của miền là hướng $Ox$ và $Oy$ dương; với $F = x + y$ ($a = b = 1 \ge 0$), $F$ tăng theo cả hai hướng. Có min, không có max. Tại đỉnh: $F(0;9) = 9$, $F(2;3) = 5$, $F(8;0) = 8$. Vậy $\min F = 5$ tại $(2;\,3)$.

(b) Với $F = 2x - y$: dọc theo $Ox$ dương ($y$ cố định, $x$ lớn) $F$ lớn tuỳ ý; dọc theo $Oy$ dương ($x = 0$, $y$ lớn, các điểm $(0;\,y)$ với $y \ge 9$ đều thuộc miền) $F = -y$ nhỏ tuỳ ý. Vậy $F$ không có GTLN và không có GTNN.

Với miền $OABC$ ở ví dụ 1, tìm $a$ để $F = x + ay$ đạt GTLN tại cả hai đỉnh $A(4;\,0)$ và $B(1;\,3)$.

Giải. $F(A) = 4$, $F(B) = 1 + 3a$. Cần $1 + 3a = 4$, tức $a = 1$. Kiểm: với $a = 1$, $F(O) = 0$, $F(C) = 2$, đều nhỏ hơn $4$. Vậy $a = 1$; khi đó $F = x + y$ đạt max $4$ trên cả cạnh $AB$ (nằm trên $x + y = 4$). (Với $a > 1$ thì $F(B) > 4$: max duy nhất tại $B$; với $0 < a < 1$ thì $F(A)$ lớn nhất.)