Định lí về dấu của tam thức bậc hai

$\Delta = 1 + 24 = 25$, nghiệm $x = \dfrac{1 \pm 5}{4}$ tức $-1$ và $\dfrac32$. $a > 0$ nên $f > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > \dfrac32$; $f < 0$ khi $-1 < x < \dfrac32$.

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, $a > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x$; tại $x = -100$ dương ($9901$).

$-x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2 \le 0$, bằng $0$ tại $x = 3$ và âm với mọi $x \ne 3$ ($\Delta = 0$, $a < 0$).

$ac < 0$ nên $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ (có hai nghiệm) và tích nghiệm $c/a < 0$ (trái dấu).

$f$ nhận giá trị âm nên không thể cùng dấu $a$ trên toàn $\mathbb{R}$, suy ra $\Delta > 0$ và $2$ nằm giữa hai nghiệm.