Tìm tham số để các khoảng thoả quan hệ tập hợp

Cho $A = [m - 1;\ m + 3)$ và $B = (-2;\ 4]$. Tìm $m$ để $A \subset B$.

Giải. $A$ luôn khác rỗng ($m - 1 < m + 3$).

• Phía trái: đầu mút $m - 1$ thuộc $A$ (đóng), còn $-2$ không thuộc $B$ (mở). Nếu $m - 1 = -2$ thì $-2 \in A$ mà $-2 \notin B$. Vậy phải $m - 1 > -2$, tức $m > -1$.
• Phía phải: $A$ mở tại $m + 3$, $B$ đóng tại $4$. Cho phép $m + 3 = 4$ (khi đó $A = [\dots; 4)$ nằm trong $B$). Vậy $m + 3 \le 4$, tức $m \le 1$.

Kết hợp: $-1 < m \le 1$, tức $m \in (-1; 1]$. Thử biên: $m = -1$ thì $A = [-2; 2)$ chứa $-2 \notin B$ (loại); $m = 1$ thì $A = [0; 4) \subset (-2; 4]$ (nhận).

Với $A$, $B$ như Ví dụ 1, tìm $m$ để $A \cap B = \varnothing$.

Giải. $A$ rời $B$ khi $A$ nằm bên trái $B$ hoặc bên phải $B$.

• Bên trái: đầu phải $m + 3$ của $A$ (mở) và đầu trái $-2$ của $B$ (mở). Nếu $m + 3 = -2$ thì $A = [\dots; -2)$ và $B = (-2; \dots]$ không chung điểm. Vậy cho phép dấu bằng: $m + 3 \le -2$, tức $m \le -5$.
• Bên phải: đầu trái $m - 1$ của $A$ (đóng) và đầu phải $4$ của $B$ (đóng). Nếu $m - 1 = 4$ thì cả hai chứa điểm $4$, giao khác rỗng. Vậy phải $m - 1 > 4$, tức $m > 5$.

Đáp số: $m \in (-\infty; -5] \cup (5; +\infty)$. Thử biên: $m = -5$ thì $A = [-6; -2)$, rời $B$; $m = 5$ thì $A = [4; 8)$, chung điểm $4$ với $B$.

Cho $A = [2m - 1;\ m + 1]$, $B = [-1;\ 3)$. Tìm $m$ để $A \subset B$.

Giải. Trường hợp $A = \varnothing$: $2m - 1 > m + 1 \iff m > 2$. Khi đó $A \subset B$ hiển nhiên. Trường hợp $A \ne \varnothing$: $m \le 2$. Cần $2m - 1 \ge -1$ (cả hai đóng tại đầu trái nên được bằng) tức $m \ge 0$; và $m + 1 < 3$ (vì $B$ mở tại $3$ mà $A$ đóng tại $m + 1$) tức $m < 2$. Vậy $0 \le m < 2$.

Hợp hai trường hợp: $m \in [0; 2) \cup (2; +\infty)$. Điểm $m = 2$ bị loại: khi đó $A = [3; 3] = \{3\}$ và $3 \notin B$.

Cho $A = (-\infty;\ m]$ và $B = (1;\ +\infty)$. Tìm $m$ để a) $A \cup B = \mathbb{R}$; b) $A \cap B \ne \varnothing$.

Giải. a) Hai tập phủ kín trục khi không có khe hở: mọi số $\le 1$ phải thuộc $A$, tức $1 \le m$ (số $1$ không thuộc $B$ nên phải thuộc $A$). Vậy $m \ge 1$. Thử biên: $m = 1$ thì $A \cup B = (-\infty; 1] \cup (1; +\infty) = \mathbb{R}$ (nhận). b) $A \cap B \ne \varnothing$ khi có số vừa $> 1$ vừa $\le m$, tức $m > 1$. Thử biên: $m = 1$ thì $A \cap B = (-\infty; 1] \cap (1; +\infty) = \varnothing$ (loại).

Cho $A = [m;\ m + 2]$, $B = [3;\ 5]$. Tìm $m$ để $A \cap B$ có đúng một phần tử. Với những $m$ nào thì $A \cap B \ne \varnothing$?

Giải. Giao của hai đoạn có đúng một điểm khi chúng chỉ chạm nhau ở đầu mút:

• $A$ bên trái, chạm tại $3$: $m + 2 = 3 \Rightarrow m = 1$, khi đó $A = [1; 3]$ và $A \cap B = \{3\}$;
• $A$ bên phải, chạm tại $5$: $m = 5$, khi đó $A = [5; 7]$ và $A \cap B = \{5\}$.

Giao khác rỗng khi $m + 2 \ge 3$ và $m \le 5$, tức $1 \le m \le 5$. Vậy đáp số: đúng một phần tử khi $m \in \{1; 5\}$; khác rỗng khi $m \in [1; 5]$.

Cho $A = [m - 1;\ m + 3)$, $B = (-2;\ 4]$ như Ví dụ 1. Tìm $m$ để $B \subset A$.

Giải. $B \subset A$ cần: đầu trái $-2$ của $B$ (mở) nằm không bên trái $m - 1$ (đóng): $m - 1 \le -2$, tức $m \le -1$; đầu phải $4$ của $B$ (đóng) phải nằm bên trong $A$ mà $A$ mở tại $m + 3$: $m + 3 > 4$, tức $m > 1$. Hai điều kiện $m \le -1$ và $m > 1$ mâu thuẫn, không có $m$ nào. Dễ hiểu: độ dài $A$ là $4$, nhỏ hơn độ dài $B$ là $6$, nên $B$ không thể nằm trong $A$.