Đồ thị hàm số

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^2 - mx + 3$ đi qua $A(3; 6)$.

Giải. Thay $x = 3$, $y = 6$: $6 = 9 - 3m + 3 \Rightarrow 3m = 6 \Rightarrow m = 2$.

Kiểm lại: $y = x^2 - 2x + 3$, tại $x = 3$ được $9 - 6 + 3 = 6$.

Cho hàm số $y = x^2 - 2x$. Tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $3$.

Giải. $x^2 - 2x = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$, nên $x = 3$ hoặc $x = -1$. Có hai điểm: $(3; 3)$ và $(-1; 3)$.

Tìm giao điểm của đồ thị $y = x^2 - x - 6$ với hai trục toạ độ.

Giải.

• Với $Oy$: $x = 0 \Rightarrow y = -6$. Giao điểm $(0; -6)$.
• Với $Ox$: $x^2 - x - 6 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0$, nên $x = 3$ hoặc $x = -2$. Giao điểm $(3; 0)$ và $(-2; 0)$.

Vẽ đồ thị $y = |x - 1|$ và cho biết nó là hàm nhiều công thức như thế nào.

Giải. $y = |x - 1| = \begin{cases} x - 1 & \text{nếu } x \ge 1, \\ 1 - x & \text{nếu } x < 1. \end{cases}$ Bảng giá trị:

Đồ thị là hình chữ V có đỉnh $(1; 0)$: tia dốc xuống từ $(-1; 2)$ về $(1; 0)$, rồi tia dốc lên qua $(2; 1)$, $(3; 2)$.

Dùng đồ thị $(C)$ ở trên, tìm: a) $f(0)$, $f(2)$; b) $D$, $T$; c) các $x$ mà $f(x) = 1$; d) các $x$ mà $f(x) = 0$.

Giải. Ba đoạn của $(C)$ có phương trình: $AB$ (với $-3 \le x \le -1$): $y = 1 - \tfrac32(x + 3)$; $BC$ (với $-1 \le x \le 1$): $y = 2x$; $CE$ (với $1 \le x \le 3$): $y = 3 - x$.

a) $f(0) = 0$ (thuộc đoạn $BC$); $f(2) = 3 - 2 = 1$ (thuộc đoạn $CE$).

b) Chiếu lên $Ox$: $D = [-3; 3]$. Chiếu lên $Oy$: điểm thấp nhất là $B$ ($y = -2$), cao nhất là $C$ ($y = 2$), nên $T = [-2; 2]$.

c) Đường ngang $y = 1$ cắt $(C)$ ba lần: tại $A$ ($x = -3$); trên $BC$: $2x = 1 \Rightarrow x = \tfrac12$; trên $CE$: $3 - x = 1 \Rightarrow x = 2$. Vậy $x \in \{-3;\ \tfrac12;\ 2\}$.

d) $f(x) = 0$: trên $AB$: $1 - \tfrac32(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -\tfrac73$ (nằm trong $[-3; -1]$, nhận); trên $BC$: $x = 0$; trên $CE$: $x = 3$. Vậy $x \in \left\{-\tfrac73;\ 0;\ 3\right\}$, đồ thị cắt $Ox$ tại ba điểm.

Cho $f(x) = \begin{cases} mx + 1 & x < 1, \\ x^2 + m & x \ge 1. \end{cases}$ Biết đồ thị đi qua $A(-2; 5)$. Tính $f(3)$.

Giải. $x = -2 < 1$, dùng nhánh đầu: $5 = -2m + 1 \Rightarrow m = -2$. Khi đó $f(3)$ dùng nhánh $x \ge 1$: $f(3) = 9 + m = 7$.

Chứng minh các đồ thị $y = (m + 1)x - 2m$ luôn đi qua một điểm cố định, tìm điểm đó.

Giải. Gọi $(x_0; y_0)$ là điểm cố định: $y_0 = (m + 1)x_0 - 2m$ đúng với mọi $m$. Nhóm theo $m$: $m(x_0 - 2) + (x_0 - y_0) = 0$ với mọi $m$. Suy ra $x_0 - 2 = 0$ và $x_0 - y_0 = 0$, tức $x_0 = y_0 = 2$. Điểm cố định là $(2; 2)$.