Ném xiên từ độ cao, vượt chướng ngại vật

Từ mái nhà cao $10\,\text{m}$, ném một quả bóng với $v_0 = 10\,\text{m/s}$ theo phương hợp phương ngang góc $30^\circ$ hướng lên ($g = 10\,\text{m/s}^2$). Tìm thời gian chạm đất, tầm xa, tốc độ chạm đất.

Giải. Chọn $O$ ở mặt đất dưới điểm ném, $Oy$ lên. $v_{0x} = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt3 \approx 8{,}66\,\text{m/s}$, $v_{0y} = 5\,\text{m/s}$.

$$y = 10 + 5t - 5t^2 = 0 \ \Rightarrow\ t^2 - t - 2 = 0 \ \Rightarrow\ t = 2\,\text{s}\ (\text{loại } t=-1).$$

$$L = 8{,}66\cdot 2 \approx 17{,}3\,\text{m},\qquad v = \sqrt{100 + 2\cdot 10\cdot 10} = \sqrt{300} \approx 17{,}3\,\text{m/s}.$$

Kiểm tra: $v_y = 5 - 20 = -15\,\text{m/s}$, $v = \sqrt{8{,}66^2 + 15^2} = \sqrt{300}$ (khớp).

Cũng từ mái nhà đó, ném quả bóng với $v_0 = 10\,\text{m/s}$ hướng xuống dưới phương ngang $30^\circ$. Tìm thời gian chạm đất và tầm xa.

Giải. $v_{0y} = -5\,\text{m/s}$ (xuống): $y = 10 - 5t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\,\text{s}$. $L = 8{,}66\cdot 1 \approx 8{,}7\,\text{m}$. Tốc độ chạm đất vẫn là $\sqrt{100 + 200} \approx 17{,}3\,\text{m/s}$, như ở ví dụ 1 dù hướng ném khác.

Ném từ mái nhà đó ngang với $v_0 = 10\,\text{m/s}$. Tìm $t$ và $L$.

Giải. $y = 10 - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = \sqrt2 \approx 1{,}41\,\text{s}$; $L = 10\sqrt2 \approx 14{,}1\,\text{m}$. Thứ tự thời gian rơi: ném xuống $1$ s $<$ ném ngang $1{,}41$ s $<$ ném lên $2$ s.

Cầu thủ sút bóng từ mặt đất với $v_0 = 20\,\text{m/s}$, $\alpha = 45^\circ$ ($g = 10\,\text{m/s}^2$). Viết phương trình quỹ đạo. Bóng có vượt qua hàng rào cao $2\,\text{m}$ đặt cách $10\,\text{m}$ không? Còn hàng rào cao $8\,\text{m}$ đặt ở chỗ đó?

Giải. $\tan 45^\circ = 1$, $\cos^2 45^\circ = \tfrac12$:

$$y = x - \frac{10}{2\cdot 400\cdot \tfrac12}x^2 = x - \frac{x^2}{40}.$$

Tại $x = 10$: $y = 10 - 2{,}5 = 7{,}5\,\text{m}$. Bóng cao $7{,}5\,\text{m}$ tại đó (và $x = 10 < L = 40$), nên vượt hàng rào $2\,\text{m}$ nhưng không vượt hàng rào $8\,\text{m}$ ($7{,}5 < 8$).

Vẫn cú sút ở Ví dụ 4. Hàng rào cao $2\,\text{m}$ phải đặt trong khoảng nào (tính từ chỗ sút) thì bóng vượt qua?

Giải. Cần $y \ge 2$: $x - \dfrac{x^2}{40} \ge 2 \Leftrightarrow x^2 - 40x + 80 \le 0 \Leftrightarrow 20 - 8\sqrt5 \le x \le 20 + 8\sqrt5$, tức $2{,}1\,\text{m} \lesssim x \lesssim 37{,}9\,\text{m}$. Ví dụ hàng rào ở $x = 38\,\text{m}$ thì $y = 38 - 36{,}1 = 1{,}9\,\text{m} < 2$: bóng chạm hàng rào.

Ném từ mặt đất với $v_0 = 20\,\text{m/s}$, $\alpha = 60^\circ$ ($g = 10\,\text{m/s}^2$). Khi nào vận tốc vuông góc với vận tốc đầu? Vị trí lúc đó?

Giải. $t = \dfrac{v_0}{g\sin\alpha} = \dfrac{20}{10\cdot\dfrac{\sqrt3}2} = \dfrac{4}{\sqrt3} \approx 2{,}31\,\text{s}$. Thời gian bay $T = 2\cdot 20\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}/10 = 2\sqrt3 \approx 3{,}46\,\text{s}$, nên $t < T$: hợp lệ.

$$x = 20\cos 60^\circ\cdot t = 10\cdot 2{,}31 \approx 23{,}1\,\text{m},\qquad y = 17{,}32\cdot 2{,}31 - 5\cdot 2{,}31^2 \approx 13{,}3\,\text{m}.$$