Các công thức của chuyển động thẳng biến đổi đều

Chọn trục $Ox$ trùng quỹ đạo thẳng, chọn chiều dương, chọn mốc thời gian $t = 0$. Khi đó:

• $v_0$ là vận tốc tại $t = 0$, $v$ là vận tốc tại thời điểm $t$ (đại số, có dấu).
• $a$ là gia tốc (không đổi, đại số).
• $d$ là độ dịch chuyển trong khoảng thời gian $t$ (độ biến thiên toạ độ $x - x_0$). Khi vật không đổi chiều, độ lớn của $d$ bằng quãng đường $s$.

Vì $a = \dfrac{v - v_0}{t - 0}$ nên

$$v = v_0 + at.$$

Đồ thị của $v$ theo $t$ là một đường thẳng có hệ số góc $a$ và cắt trục $v$ tại $v_0$.

Trong chuyển động biến đổi đều, vận tốc đổi đều nên vận tốc trung bình trong khoảng $[0; t]$ chính là trung bình cộng của vận tốc đầu và cuối: $\bar v = \dfrac{v_0 + v}{2}$. Từ đó

$$d = \bar v\, t = \frac{v_0 + v}{2}\, t.$$

Thay $v = v_0 + at$ vào:

Nếu toạ độ ban đầu là $x_0$, ta có phương trình toạ độ của chuyển động:

$$x = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2.$$

Ý nghĩa của $\tfrac12 at^2$: quãng đường do gia tốc đóng góp tỉ lệ với bình phương thời gian. Gấp đôi thời gian thì phần này gấp bốn.

Khử $t$ giữa $v = v_0 + at$ và $d = \dfrac{v_0 + v}{2}t$: từ $t = \dfrac{v - v_0}{a}$ suy ra $d = \dfrac{(v_0 + v)(v - v_0)}{2a} = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$, tức là

Bốn công thức dưới đây mỗi cái thiếu đúng một trong năm đại lượng $v_0, v, a, t, d$. Bài toán cho ba đại lượng, hỏi một đại lượng: chọn công thức chứa bốn đại lượng đó, tức là thiếu đại lượng còn lại.

Công thức	Thiếu	Dùng khi
$v = v_0 + at$	$d$	không biết, không cần quãng đường
$d = v_0 t + \tfrac12 at^2$	$v$	không biết, không cần vận tốc cuối
$v^2 - v_0^2 = 2ad$	$t$	không biết, không cần thời gian
$d = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t$	$a$	không biết, không cần gia tốc

Độ dịch chuyển trong giây thứ $n$ là độ dịch chuyển trong khoảng từ $t = n - 1$ đến $t = n$, bằng hiệu của $d(n)$ và $d(n - 1)$:

$$d_n = \left(v_0 n + \tfrac12 an^2\right) - \left(v_0 (n-1) + \tfrac12 a(n-1)^2\right) = v_0 + a\left(n - \tfrac12\right).$$

Nhận xét: $d_n$ là vận tốc tại giữa giây thứ $n$, nhân với $1$ s. Nếu vật bắt đầu từ nghỉ ($v_0 = 0$) thì $d_n = a\left(n - \tfrac12\right)$, tỉ lệ với $2n - 1$:

$$d_1 : d_2 : d_3 : d_4 : \dots = 1 : 3 : 5 : 7 : \dots$$

Đó là quy luật mà Ga-li-lê đã tìm ra khi cho bi lăn trên mặt phẳng nghiêng. Cộng $n$ số lẻ đầu tiên được $n^2$: đó chính là $d \propto t^2$.

Với vận tốc trung bình trên một khoảng thời gian, trong chuyển động biến đổi đều ta có:

Do đó nếu hai đoạn đường liên tiếp lần lượt mất $T_1$ và $T_2$ (giây), vận tốc trung bình $\bar v_1$, $\bar v_2$ là vận tốc tại hai thời điểm cách nhau $\dfrac{T_1 + T_2}{2}$, và

$$a = \frac{\bar v_2 - \bar v_1}{(T_1 + T_2)/2}.$$

Trường hợp đặc biệt: hai khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau $T$ thì hiệu hai quãng đường là $\Delta s = aT^2$.

Đại lượng	Công thức
Vận tốc	$v = v_0 + at$
Độ dịch chuyển	$d = v_0 t + \tfrac12 at^2 = \dfrac{v_0 + v}{2}\,t$
Không có $t$	$v^2 - v_0^2 = 2ad$
Toạ độ	$x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2$
Giây thứ $n$	$d_n = v_0 + a\left(n - \tfrac12\right)$
Hai khoảng $T$ liên tiếp	$\Delta s = aT^2$