Thứ nguyên và kiểm tra công thức

Thứ nguyên của một đại lượng cho biết nó được tạo từ các đại lượng cơ bản nào. Trong cơ học dùng ba kí hiệu: $L$ (độ dài), $M$ (khối lượng), $T$ (thời gian). Thứ nguyên của đại lượng $X$ viết là $[X]$.

Đại lượng	Công thức	Thứ nguyên	Đơn vị SI
Vận tốc $v$	$s/t$	$L\,T^{-1}$	m/s
Gia tốc $a$	$v/t$	$L\,T^{-2}$	$\text{m/s}^2$
Lực $F$	$ma$	$M\,L\,T^{-2}$	N
Công, năng lượng $E$	$F\cdot s$	$M\,L^{2}\,T^{-2}$	J
Công suất $P$	$E/t$	$M\,L^{2}\,T^{-3}$	W
Áp suất $p$	$F/S$	$M\,L^{-1}\,T^{-2}$	Pa
Khối lượng riêng $\rho$	$m/V$	$M\,L^{-3}$	$\text{kg/m}^3$

• Kiểm tra: nếu thứ nguyên hai vế khác nhau, công thức chắc chắn sai. (Điều ngược lại không đúng: đồng nhất vẫn có thể sai hệ số, như thiếu $\tfrac12$.)
• Suy ra đơn vị của hằng số: từ $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$ suy ra $[G] = \dfrac{[F][r]^2}{[m]^2} = M\,L\,T^{-2}\cdot L^{2}\cdot M^{-2} = L^{3}M^{-1}T^{-2}$.
• Đoán dạng công thức: chu kì con lắc đơn $T$ phụ thuộc $l$ và $g$ theo $T = k\,l^{x}g^{y}$ với $k$ không thứ nguyên. Cân bằng thứ nguyên ($[g] = L\,T^{-2}$):

$$T^{1} = L^{x}\,(L\,T^{-2})^{y} = L^{x+y}\,T^{-2y} \ \Rightarrow\ x + y = 0,\ -2y = 1 \ \Rightarrow\ y = -\tfrac12,\ x = \tfrac12,$$

tức $T = k\sqrt{l/g}$, đúng dạng của $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ (thứ nguyên không cho biết $k = 2\pi$).

Ý	Nội dung
Kí hiệu	$[v] = LT^{-1}$, $[a] = LT^{-2}$, $[F] = MLT^{-2}$
Quy tắc	Cộng trừ so sánh cùng thứ nguyên; nhân chia thì cộng trừ số mũ
Dùng để	Loại công thức sai, tìm đơn vị hằng số, đoán dạng
Giới hạn	Không xác định được hệ số thuần tuý