Tầm xa cực đại và hai góc ném cho cùng tầm xa

Ném từ mặt đất, bỏ qua sức cản, tầm xa là

Với $v_0$ cố định, $L$ chỉ thay đổi theo $\sin 2\alpha$. Vì $\sin 2\alpha \le 1$ với mọi $\alpha$, dấu bằng khi $2\alpha = 90^\circ$:

Ví dụ $v_0 = 20\,\text{m/s}$, $g = 10\,\text{m/s}^2$: $L = 40\sin 2\alpha$ (mét), cực đại $40\,\text{m}$ tại $45^\circ$.

Vì $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ nên

Vậy hai cú ném có góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ cùng tầm xa. Nhưng hai cú ném đó khác nhau:

Cú ném góc nhỏ tới đích nhanh hơn (hay dùng khi muốn đối phương không kịp phản ứng); cú ném góc lớn cao hơn nên vượt được vật cản cao hơn.

Từ $L = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ suy ra

• Nếu $\dfrac{gL}{v_0^2} > 1$ (tức $L > L_{\max}$): không có nghiệm, ném không tới.
• Nếu $\dfrac{gL}{v_0^2} = 1$: một nghiệm $\alpha = 45^\circ$.
• Nếu $0 < \dfrac{gL}{v_0^2} < 1$: hai nghiệm $\alpha_1 < 45^\circ$ và $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1$.

• $L = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$; $L_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$ tại $45^\circ$.
• $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ cho cùng $L$; góc lớn bay lâu hơn và cao hơn.
• $\sin 2\alpha = gL/v_0^2$: vô nghiệm nếu $> 1$, một nghiệm nếu $= 1$, hai nghiệm nếu $< 1$.