Tầm xa cực đại và hai góc ném cho cùng tầm xa

Một vận động viên đẩy được quả cầu với $v_0 = 20\,\text{m/s}$ từ mặt đất ($g = 10\,\text{m/s}^2$). Tính tầm xa lớn nhất và góc tương ứng. Tầm cao, thời gian bay lúc đó là bao nhiêu?

Giải. $L_{\max} = \dfrac{20^2}{10} = 40\,\text{m}$ tại $\alpha = 45^\circ$. Khi đó $v_{0y} = 20\sin 45^\circ = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\,\text{m/s}$, nên

$$T = \frac{2\cdot 14{,}14}{10} \approx 2{,}83\,\text{s},\qquad H = \frac{14{,}14^2}{20} = 10\,\text{m}.$$

Cũng với $v_0 = 20\,\text{m/s}$, so sánh hai cú ném $\alpha = 30^\circ$ và $\alpha = 60^\circ$.

Giải.

Cùng tầm xa; góc lớn bay lâu hơn $\sqrt3$ lần và cao hơn $3$ lần.

Với $v_0 = 20\,\text{m/s}$, muốn bóng rơi cách điểm ném $30\,\text{m}$ thì phải ném góc nào?

Giải. $\sin 2\alpha = \dfrac{10\cdot 30}{400} = 0{,}75$. Khi đó $2\alpha \approx 48{,}6^\circ$ hoặc $2\alpha \approx 131{,}4^\circ$, nên

$$\alpha_1 \approx 24{,}3^\circ,\qquad \alpha_2 \approx 65{,}7^\circ \ (= 90^\circ - 24{,}3^\circ).$$

Một cầu thủ cần ném bóng từ mặt đất tới đồng đội cách $90\,\text{m}$. Tốc độ ném nhỏ nhất là bao nhiêu? ($g = 10\,\text{m/s}^2$)

Giải. $L \le v_0^2/g$ nên $v_0 \ge \sqrt{gL} = \sqrt{900} = 30\,\text{m/s}$, đạt khi ném $45^\circ$.

Với $v_0 = 20\,\text{m/s}$, có thể ném tới điểm cách $50\,\text{m}$ trên mặt đất không?

Giải. $L_{\max} = 40\,\text{m} < 50\,\text{m}$. Cụ thể $\sin 2\alpha = 10\cdot 50/400 = 1{,}25 > 1$: vô nghiệm. Không thể.