Phanh xe, gặp nhau và đuổi nhau

Xe chạy với vận tốc $v_0 > 0$ (chiều dương là chiều chạy), phanh với gia tốc $a < 0$ không đổi cho đến khi dừng ($v = 0$). Từ $v = v_0 + at$ và $v^2 - v_0^2 = 2ad$:

Hệ quả quan trọng: quãng đường phanh tỉ lệ với bình phương vận tốc đầu. Chạy nhanh gấp đôi thì quãng đường phanh gấp bốn lần; nhanh gấp ba thì gấp chín lần.

Từ lúc người lái thấy nguy hiểm đến khi chân bắt đầu phanh, xe vẫn chạy đều với $v_0$ trong thời gian phản ứng $t_p$ (thường $0{,}5$ đến $1$ s). Quãng đường dừng hẳn là

$$s_{dừng} = v_0 t_p + \frac{v_0^2}{2\lvert a\rvert}.$$

Khoảng cách an toàn giữa hai xe cùng chiều phải không nhỏ hơn $s_{dừng}$ (tính với xe sau). Phần đầu $v_0 t_p$ tỉ lệ với $v_0$, phần sau tỉ lệ với $v_0^2$, nên ở tốc độ cao phần phanh chiếm ưu thế.

Hai vật chuyển động trên cùng đường thẳng. Chọn một hệ trục (cùng gốc, cùng chiều dương) và một mốc thời gian chung cho cả hai. Viết:

$$x_1 = x_{01} + v_{01}t + \tfrac12 a_1 t^2, \qquad x_2 = x_{02} + v_{02}t + \tfrac12 a_2 t^2.$$

Hai vật gặp nhau khi $x_1 = x_2$ tại cùng một $t$. Phương trình thu được thường là bậc hai theo $t$; nghiệm phải thoả $t \ge 0$ (sau mốc thời gian) và mỗi vật phải còn chuyển động theo công thức ở thời điểm đó.

Chuyển động chậm dần đều với $a < 0$ dừng ở thời điểm $t_d = \dfrac{v_0}{\lvert a\rvert}$. Sau $t_d$ vật đứng yên (hoặc đỗ lại), không đi tiếp theo công thức $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2$ (công thức ấy sẽ cho vật quay ngược lại, điều không xảy ra khi phanh). Vì vậy:

• Phanh: $t_{dừng} = \dfrac{v_0}{\lvert a\rvert}$, $s_{phanh} = \dfrac{v_0^2}{2\lvert a\rvert}$; quãng đường dừng $= v_0 t_p + s_{phanh}$.
• Gặp nhau: cùng gốc, cùng chiều dương, cùng mốc thời gian; $x_1 = x_2$; nhận $t \ge 0$.
• Khoảng cách lớn nhất giữa hai xe khi $v_1 = v_2$.
• Vật chậm dần chỉ nhận nghiệm $t \le t_d$; nếu không, vật đã dừng tại $x_d$.