Ném thẳng đứng và hai vật trong trọng trường

Với vật ném thẳng đứng ta thường chọn trục $Oy$ thẳng đứng, chiều dương hướng lên, gốc $O$ ở mặt đất (hoặc ở điểm ném), $t = 0$ lúc ném. Khi đó gia tốc là $a = -g$ (âm, vì hướng xuống), và

Trong các bài rơi tự do ở bài trước ta chọn chiều dương xuống nên $a = +g$. Hai cách chọn đều đúng; chỉ cần dùng nhất quán trong một bài.

Vật ném lên từ mặt đất ($y_0 = 0$) với vận tốc $v_0 > 0$:

• Lên tới điểm cao nhất khi $v = 0$: thời gian lên $t_1 = \dfrac{v_0}{g}$, độ cao cực đại $h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g}$.
• Quay về mặt đất khi $y = 0$: tổng thời gian bay $t = \dfrac{2v_0}{g}$, bằng đúng hai lần thời gian lên.
• Chuyển động đối xứng: ở cùng một độ cao, vận tốc lúc lên và lúc xuống có cùng độ lớn, trái dấu. Vận tốc lúc chạm đất là $-v_0$ (tốc độ bằng tốc độ ném).
• Với độ cao $y$ (không quá $h_{max}$), phương trình $v_0 t - \tfrac12 gt^2 = y$ có hai nghiệm $t_1' < t_2'$: lúc đi lên và lúc đi xuống, có tổng $\dfrac{2v_0}{g}$.

Ném từ độ cao $y_0$ (nóc nhà): giữ nguyên các công thức. Khi vật chạm đất, $y = 0$: giải $y_0 + v_0 t - \tfrac12 gt^2 = 0$, lấy nghiệm dương duy nhất. Độ lớn vận tốc chạm đất: $v^2 = v_0^2 + 2gy_0$. Điều này không phụ thuộc vật ném lên hay ném xuống miễn là cùng độ lớn $v_0$ và cùng độ cao $y_0$: ném lên rồi rơi qua điểm ném đã có vận tốc $-v_0$, từ đó giống hệt ném xuống với $v_0$.

Vật thả rơi tự do trong $t$ giây (chạm đất). Quãng đường trong giây cuối là hiệu $h(t) - h(t - 1) = \tfrac12 g\left(2t - 1\right)$. Biết quãng đường này, giải ngược ra $t$, rồi $h = \tfrac12 gt^2$.

Khi hai vật cùng chịu $g$ thì gia tốc của chúng bằng nhau, nên hiệu hai vận tốc không đổi và khoảng cách giữa chúng thay đổi đều (chuyển động tương đối là chuyển động thẳng đều):

Cách làm: viết $y_1(t)$, $y_2(t)$ cùng gốc toạ độ và cùng gốc thời gian; nếu một vật được thả/ném muộn $\Delta t$ thì thay $t$ bằng $t - \Delta t$ trong phương trình của vật đó (chỉ có nghĩa khi $t \ge \Delta t$).

• Chiều dương lên: $a = -g$, $v = v_0 - gt$, $y = y_0 + v_0 t - \tfrac12 gt^2$.
• Lên cao nhất: $v = 0$, $h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g}$ (ném từ mặt đất); thời gian bay $\dfrac{2v_0}{g}$.
• Một độ cao có thể có hai thời điểm; kiểm điều kiện từng nghiệm.
• Hai vật cùng $g$: hiệu toạ độ là hàm bậc nhất của $t$; một gốc chung, trừ $\Delta t$ cho vật muộn.