Hệ vật nối dây qua ròng rọc

Trong bài toán lớp 10 ta giả thiết:

• Dây nhẹ (khối lượng bỏ qua) và không dãn: hai đầu dây có gia tốc cùng độ lớn, $\lvert a_1\rvert = \lvert a_2\rvert = a$.
• Ròng rọc nhẹ, quay trơn (bỏ qua ma sát): chỉ đổi hướng của dây, lực căng có cùng độ lớn $T$ ở hai phía của ròng rọc.

Hệ vật nối dây có thể coi là một khối: chiều dương mỗi vật chọn theo chiều chuyển động của chính vật đó, hai chiều dương đó được nối với nhau qua dây.

Viết định luật II cho từng vật riêng, mỗi vật một phương trình, rồi giải hệ. Cách nhanh: cộng vế để khử $T$.

Hai vật $m_1 > m_2$ treo hai bên ròng rọc cố định. Vật $m_1$ đi xuống, vật $m_2$ đi lên, chọn chiều dương theo chiều chuyển động của mỗi vật:

$$m_1g - T = m_1a, \qquad T - m_2g = m_2a.$$

Cộng vế: $(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a$. Do đó

$$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = m_2(g + a) = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g.$$

Khi $m_1 = m_2$ thì $a = 0$ và $T = mg$. Khi $m_1 \gg m_2$ thì $a \to g$ và $T \to 0$, giống vật $m_1$ rơi tự do.

Vật $m_1$ nằm trên bàn nhẵn, nối qua ròng rọc ở mép bàn với vật $m_2$ treo. Chiều dương: vật $m_1$ sang phải (về phía ròng rọc), vật $m_2$ đi xuống.

$$T = m_1a, \qquad m_2g - T = m_2a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,g, \quad T = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g.$$

Ở đây phần trọng lực $m_1g$ của vật trên bàn bị phản lực $N$ cân bằng, không góp vào chuyển động.

Vật $m_1$ trên mặt nghiêng nhẵn góc $\alpha$, nối qua ròng rọc ở đỉnh dốc với vật $m_2$ treo thẳng đứng. Trước hết xác định chiều chuyển động bằng cách so hai lực kéo: $m_1g\sin\alpha$ (kéo $m_1$ xuống dốc) với $m_2g$ (kéo $m_2$ xuống). Nếu $m_1g\sin\alpha > m_2g$ thì $m_1$ trượt xuống, $m_2$ đi lên:

$$m_1g\sin\alpha - T = m_1a, \qquad T - m_2g = m_2a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{m_1\sin\alpha - m_2}{m_1 + m_2}\,g.$$

Nếu kết quả âm thì chiều chuyển động ngược với giả định; nếu bằng $0$ thì hệ cân bằng.

• Dây nhẹ không dãn: hai vật cùng độ lớn $a$; ròng rọc nhẹ: cùng $T$ hai phía.
• Viết định luật II cho từng vật, cộng vế để khử $T$.
• Atwood: $a = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g$, $T = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$. Bàn–treo: $a = \dfrac{m_2g}{m_1 + m_2}$. Nghiêng–treo: $a = \dfrac{m_1\sin\alpha - m_2}{m_1 + m_2}g$.
• Hệ có gia tốc thì $T$ khác trọng lượng vật treo.