Ném xiên từ độ cao, vượt chướng ngại vật

01Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình khi ném từ độ cao h

Chọn $O$ ở mặt đất ngay dưới điểm ném (hoặc ở điểm ném; chọn một cách và giữ nguyên), $Oy$ hướng lên, $t = 0$ lúc ném. Điểm ném có toạ độ $(0; h)$ :

x = v_0\cos\alpha\cdot t,\qquad y = h + v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2},\qquad v_y = v_0\sin\alpha - gt .

Với ném xuống: $\alpha < 0$ (hoặc dùng $\alpha$ dương và đổi dấu thành phần đứng). Ném ngang: $\alpha = 0$ .

Thời gian chạm đất là nghiệm dương của $y = 0$ :

\frac{g}{2}t^2 - v_0\sin\alpha\cdot t - h = 0 \ \Rightarrow\ t = \frac{v_0\sin\alpha + \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha + 2gh}}{g}.

(Nghiệm còn lại âm, loại vì là thời điểm "trước khi ném".) Tầm xa $L = v_0\cos\alpha\cdot t$ .

Tốc độ khi chạm đất. Bỏ qua sức cản, tốc độ không phụ thuộc hướng ném:

\boxed{v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}} .

Cách nhớ: ném lên $\alpha$ rồi rơi trở về độ cao ném, vật có cùng tốc độ $v_0$ (hướng xuống góc $\alpha$ ); sau đó rơi thêm $h$ như một vật có vận tốc đầu.

2. Phương trình quỹ đạo và vượt chướng ngại

Khử $t$ giữa $x$ và $y$ :

y = h + x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 .

Đây là parabol bề lõm hướng xuống. Để biết vật có vượt một vật cản đặt tại $x = d$ cao $h_c$ hay không, tính $y(d)$ rồi so với $h_c$ :

$y(d) > h_c$ : bóng đi qua phía trên vật cản;
$y(d) < h_c$ : bóng va vào vật cản (nếu $d$ nhỏ hơn tầm xa) hoặc đã rơi trước đó.

Nhớ kiểm tra thêm $d \le L$ (bóng còn đang bay tại $x = d$ ).

Tương tácVượt hàng rào

Kết quả

Bóng vượt qua hàng rào

Độ cao bóng tại hàng rào

y (d) = 7, 5 m, h_{c} = 2 m

Hiệu số

y (d) - h_{c} = 5, 5 m

Phương trình quỹ đạo

y = 0 + 1 x - 0, 025 x^{2}

Tầm xa

L = 40 m

v₀ m/s

Góc α °

Độ cao ném h m

Rào cách d m

Cao rào hc m

t1,41 s

Mặc định v₀ = 20 m/s, α = 45° (y = x − x²/40). Kéo d và chiều cao hàng rào: đoạn cyan đo y(d) − hc. Thử hàng rào 2 m đặt ở 38 m: bóng đã xuống thấp hơn 2 m nên va vào.

3. Khi nào vận tốc vuông góc với vận tốc đầu? (nâng cao)

Vận tốc tại thời điểm $t$ là $\vec v = (v_0\cos\alpha;\ v_0\sin\alpha - gt)$ , vận tốc đầu là $\vec v_0 = (v_0\cos\alpha;\ v_0\sin\alpha)$ . Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng $0$ :

v_0^2\cos^2\alpha + v_0\sin\alpha\,(v_0\sin\alpha - gt) = 0 \ \Rightarrow\ v_0^2 - g t\,v_0\sin\alpha = 0 \ \Rightarrow\ \boxed{t = \frac{v_0}{g\sin\alpha}} .

Cần kiểm tra $t$ nằm trong thời gian bay ( $t \le T$ ), nếu không thì bóng đã chạm đất trước khi xảy ra điều đó.

Tương tácKhi nào vận tốc vuông góc với vận tốc đầu?

Góc giữa v và v₀

θ = 25, 3^{\circ}

Tích vô hướng

v \cdot v_{0} = 220 m^{2} / s^{2}

Thời điểm cần tìm

t^{*} = \frac{v _{0}}{g sin α} = 2, 31 s

So với thời gian bay

T = 3, 46 s (t^{*} \leq T)

t = 1, 04 s

v₀ m/s

Góc α °

t1,04 s

Bấm “Tới t*” để dừng đúng lúc v ⊥ v₀. Với α < 45° thời điểm đó rơi sau lúc bóng chạm đất (t* > T), nên không xảy ra.

02Tóm tắt

Ném từ độ cao $h$ : $y = h + v_0\sin\alpha\cdot t - \tfrac12 gt^2 = 0$ , lấy nghiệm dương; $L = v_0\cos\alpha\cdot t$ .
$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$ lúc chạm đất, không phụ thuộc hướng ném.
Quỹ đạo: $y = h + x\tan\alpha - \dfrac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$ ; vượt vật cản khi $y(d) > h_c$ và $d \le L$ .
$\vec v\perp\vec v_0$ khi $t = \dfrac{v_0}{g\sin\alpha}$ (và $t \le T$ ).

03Mở rộng

Góc ném tối ưu khi ném từ độ cao. Nếu ném từ độ cao $h$ xuống mặt đất, tầm xa lớn nhất đạt khi

$\tan\alpha = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + 2gh}} < 1,$

tức góc nhỏ hơn $45^\circ$ , và $L_{\max} = \dfrac{v_0\sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$ . Với $v_0 = 10\,\text{m/s}$ , $h = 10\,\text{m}$ : $\tan\alpha = 10/\sqrt{300} = 1/\sqrt3$ , $\alpha = 30^\circ$ và $L_{\max} = 10\sqrt{300}/10 \approx 17{,}3\,\text{m}$ . Đây chính là góc $30^\circ$ ở Ví dụ 1 (nên bóng rơi xa nhất có thể với tốc độ ấy).

Tiếp theoPhương pháp →

Mục tiêu

Khởi động