Đồ thị vận tốc – thời gian

Đồ thị $v$–$t$ của một tàu gồm ba đoạn thẳng nối các điểm $(0; 0)$, $(6\ \text{s}; 12\ \text{m/s})$, $(14\ \text{s}; 12\ \text{m/s})$, $(20\ \text{s}; 0)$. Tìm gia tốc từng đoạn, quãng đường cả chặng và tốc độ trung bình.

Giải.

• Đoạn 1: $a_1 = \dfrac{12 - 0}{6} = 2\,\text{m/s}^2$; diện tích tam giác $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 12 = 36\,\text{m}$.
• Đoạn 2: $a_2 = 0$; hình chữ nhật $8 \cdot 12 = 96\,\text{m}$.
• Đoạn 3: $a_3 = \dfrac{0 - 12}{6} = -2\,\text{m/s}^2$; tam giác $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 12 = 36\,\text{m}$.

Tổng quãng đường $36 + 96 + 36 = 168\,\text{m}$ (cũng bằng hình thang $\dfrac{20 + 8}{2}\cdot 12$). Tốc độ trung bình: $168/20 = 8{,}4\,\text{m/s}$.

Đồ thị $v$–$t$ của vật là đường thẳng qua $(2\ \text{s}; 9\ \text{m/s})$ và $(6\ \text{s}; 3\ \text{m/s})$. Viết phương trình $v(t)$, tìm $v_0$, thời điểm dừng và quãng đường đi được đến lúc dừng.

Giải. $a = \dfrac{3 - 9}{6 - 2} = -1{,}5\,\text{m/s}^2$. Từ $9 = v_0 - 1{,}5\cdot 2$ có $v_0 = 12\,\text{m/s}$, vậy $v = 12 - 1{,}5t$. Dừng khi $12 - 1{,}5t = 0$ nên $t = 8$ s. Quãng đường đến lúc dừng là diện tích tam giác $\tfrac12\cdot 8\cdot 12 = 48\,\text{m}$ (hoặc $\dfrac{0 - 12^2}{2\cdot(-1{,}5)} = 48\,\text{m}$).

Xe A xuất phát từ nghỉ với $a_A = 2\,\text{m/s}^2$. Xe B có $v_{0B} = 6\,\text{m/s}$ và $a_B = 1\,\text{m/s}^2$. Hai đồ thị $v$–$t$ cắt nhau ở đâu, và lúc đó hai xe có gặp nhau không? So sánh độ dịch chuyển trong $6$ s.

Giải. $v_A = 2t$, $v_B = 6 + t$, bằng nhau khi $t = 6$ s, cùng $v = 12\,\text{m/s}$. Giao điểm của hai đồ thị $v$–$t$ chỉ cho biết hai xe có cùng vận tốc, không cho biết cùng vị trí. Trong $6$ s: $d_A = \tfrac12\cdot 2\cdot 36 = 36\,\text{m}$, $d_B = 6\cdot 6 + \tfrac12\cdot 1\cdot 36 = 54\,\text{m}$; xe B đi được nhiều hơn $18$ m (diện tích giữa hai đồ thị).

Vật có $v = 12 - 3t$ (m/s), chiều dương là chiều chuyển động ban đầu. Tính độ dịch chuyển, quãng đường, vận tốc trung bình và tốc độ trung bình trong $7$ s đầu. Khi nào vật về vị trí xuất phát?

Giải. $v_0 = 12$, $a = -3$. Đổi chiều khi $12 - 3t = 0$, tức $t_0 = 4$ s.

• $[0; 4]$: $d_1 = \tfrac12\cdot 4\cdot 12 = 24\,\text{m}$ (tiến).
• $[4; 7]$: $v(7) = -9$; $d_2 = \tfrac12\cdot 3\cdot(-9) = -13{,}5\,\text{m}$ (lùi).

Vậy $d = 24 - 13{,}5 = 10{,}5\,\text{m}$ (kiểm: $12\cdot 7 - 1{,}5\cdot 49 = 10{,}5$) và $s = 24 + 13{,}5 = 37{,}5\,\text{m}$. Vận tốc trung bình $= 10{,}5/7 = 1{,}5\,\text{m/s}$, tốc độ trung bình $= 37{,}5/7 \approx 5{,}36\,\text{m/s}$.

Về vị trí xuất phát khi $d(t) = 12t - 1{,}5t^2 = 0$, nghiệm $t > 0$ là $t = 8$ s.

Một xe thử nghiệm: từ $0$ đến $4$ s tăng đều từ $0$ lên $10\,\text{m/s}$; từ $4$ s đến $10$ s chạy đều; từ $10$ s đến $12$ s phanh đều cho đến khi dừng. Tính gia tốc từng giai đoạn, tổng quãng đường và tốc độ trung bình.

Giải. Đoạn 1: $a_1 = 2{,}5\,\text{m/s}^2$, $\tfrac12\cdot 4\cdot 10 = 20$ m. Đoạn 2: $a_2 = 0$, $6\cdot 10 = 60$ m. Đoạn 3: $a_3 = -5\,\text{m/s}^2$, $\tfrac12\cdot 2\cdot 10 = 10$ m. Tổng $90$ m, tốc độ trung bình $90/12 = 7{,}5\,\text{m/s}$.