Mặt phẳng nghiêng có ma sát

Trong mục này lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$; $\sin30^\circ = 0{,}5$, $\cos30^\circ\approx0{,}866$.

Vật trượt từ trạng thái nghỉ trên mặt dốc $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}2$. Tính gia tốc và vận tốc sau khi đi được $4\,\text{m}$.

Giải. $\tan30^\circ\approx0{,}577 > 0{,}2$ nên vật trượt. $a = 10(0{,}5 - 0{,}2\cdot0{,}866)\approx 3{,}27\,\text{m/s}^2$. $v = \sqrt{2as} = \sqrt{2\cdot3{,}268\cdot4}\approx 5{,}11\,\text{m/s}$.

Vật $2\,\text{kg}$ đặt trên dốc $\alpha = 20^\circ$, $\mu_n = 0{,}6$. Vật có trượt không? Ma sát tác dụng lên vật bao nhiêu?

Giải. $\tan20^\circ\approx0{,}364 < 0{,}6$: vật đứng yên. Ma sát nghỉ $f_n = mg\sin20^\circ = 20\cdot0{,}342\approx 6{,}84\,\text{N}$, còn nhỏ hơn ma sát nghỉ cực đại $0{,}6\cdot20\cos20^\circ\approx 11{,}3\,\text{N}$.

Đo $\mu_n$ của khối gỗ trên tấm ván: nâng dần ván, khối bắt đầu trượt khi $\alpha_0 = \arctan\mu_n$. Với $\mu_n = 0{,}5$, góc đó là bao nhiêu? Nếu thay khối nặng gấp đôi thì góc đổi thế nào?

Giải. $\alpha_0 = \arctan0{,}5\approx26{,}6^\circ$. Góc không đổi vì $m$ triệt tiêu trong $\tan\alpha > \mu_n$.

Vật trượt đều xuống một dốc cao $3\,\text{m}$, dài $5\,\text{m}$. Tính hệ số ma sát.

Giải. $\sin\alpha = \dfrac35 = 0{,}6$, $\cos\alpha = 0{,}8$. Trượt đều: $\mu = \tan\alpha = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$.

Vật được ném lên dốc $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}2$ với vận tốc đầu $8\,\text{m/s}$ dọc dốc. Tính quãng đường lên cao nhất, thời gian lên, và vận tốc khi trở về chân dốc.

Giải. Lên dốc: $a_1 = -10(0{,}5 + 0{,}2\cdot0{,}866) = -6{,}732\,\text{m/s}^2$. $s = \dfrac{8^2}{2\cdot6{,}732}\approx 4{,}75\,\text{m}$; $t_1 = \dfrac{8}{6{,}732}\approx1{,}19\,\text{s}$. Vì $\tan30^\circ>0{,}2$ nên vật trượt xuống với $a_2 = 3{,}268\,\text{m/s}^2$: $v = \sqrt{2\cdot3{,}268\cdot4{,}753}\approx 5{,}57\,\text{m/s}$, thời gian xuống $t_2 = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}753}{3{,}268}}\approx 1{,}71\,\text{s}$.