Đường tròn lượng giác, thời gian và quãng đường

Vật dao động điều hoà biên độ $8\,\text{cm}$. Lúc $t = 0$ vật ở li độ $4\,\text{cm}$ và đang đi theo chiều âm. Tìm $\varphi$ (trong khoảng $(-\pi;\ \pi]$).

Giải. $\cos\varphi = \dfrac{x_0}{A} = \dfrac{1}{2}$ nên $\varphi = \pm\dfrac{\pi}{3}$. Đang đi theo chiều âm ($v < 0$) thì $P$ ở nửa trên của đường tròn, $\sin\varphi > 0$. Vậy $\varphi = \dfrac{\pi}{3}\,\text{rad}$.

Nếu vật đang đi theo chiều dương thì $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$.

Chu kì $T = 1{,}2\,\text{s}$. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ $x = \dfrac{A\sqrt3}{2}$ (đang đi theo chiều âm) tới $x = -\dfrac{A}{2}$.

Giải. Điểm đầu ở nửa trên, góc $\dfrac{\pi}{6}$; điểm cuối cùng nửa trên (vẫn đi theo chiều âm), góc $\dfrac{2\pi}{3}$. Cung $\Delta\theta = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$, nên $\Delta t = \dfrac{T}{4} = 0{,}3\,\text{s}$.

Chu kì $T = 0{,}6\,\text{s}$. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ $x = -\dfrac{A}{2}$ đến $x = \dfrac{A\sqrt2}{2}$.

Giải. Vật đi từ chỗ âm tới chỗ dương nên qua vị trí cân bằng theo chiều dương, ứng với nửa dưới của đường tròn: từ góc $-\dfrac{2\pi}{3}$ đến $-\dfrac{\pi}{4}$, cung $\Delta\theta = \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12}$. $\Delta t = \dfrac{5\pi/12}{2\pi}T = \dfrac{5T}{24} = 0{,}125\,\text{s}$.

Chu kì $T = 0{,}9\,\text{s}$. Trong mỗi chu kì, khoảng thời gian vật có $x \ge \dfrac{A}{2}$ và khoảng thời gian có $\lvert v\rvert \ge \dfrac{v_{\max}}{2}$ là bao nhiêu?

Giải. $x \ge \dfrac{A}{2}$ ứng cung từ $-\dfrac{\pi}{3}$ đến $\dfrac{\pi}{3}$ quanh biên dương, rộng $\dfrac{2\pi}{3}$: thời gian $\dfrac{T}{3} = 0{,}3\,\text{s}$.

$\lvert v\rvert \ge \dfrac{v_{\max}}{2}$ tương đương $\omega\sqrt{A^2 - x^2} \ge \dfrac{\omega A}{2}$, tức $\lvert x\rvert \le \dfrac{A\sqrt3}{2}$: hai cung quanh vị trí cân bằng, mỗi cung $\dfrac{2\pi}{3}$, tổng $\dfrac{4\pi}{3}$ nên thời gian $\dfrac{2T}{3} = 0{,}6\,\text{s}$.

Vật dao động theo $x = 6\cos(2\pi t)\,\text{cm}$. Tìm các thời điểm vật qua $x = 3\,\text{cm}$ lần thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ năm.

Giải. $T = 1\,\text{s}$. Lúc $t = 0$ vật ở biên dương. $x = 3 = \dfrac{A}{2}$ ứng góc $\pm\dfrac{\pi}{3}$ trên đường tròn. Lần 1 ở cung $\dfrac{\pi}{3}$ (đi theo chiều âm): $t_1 = \dfrac{T}{6} = \dfrac{1}{6}\,\text{s} \approx 0{,}167\,\text{s}$. Lần 2 ở góc $\dfrac{5\pi}{3}$ (đi theo chiều dương): $t_2 = \dfrac{5T}{6} \approx 0{,}833\,\text{s}$. Mỗi chu kì lặp lại hai lần nên $t_3 = T + t_1 = \dfrac{7}{6}\,\text{s} \approx 1{,}167\,\text{s}$ và $t_5 = 2T + t_1 = \dfrac{13}{6}\,\text{s} \approx 2{,}167\,\text{s}$.

Vật dao động theo $x = 6\cos\!\left(\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)\,\text{cm}$. Tính quãng đường vật đi được từ $t = 0$ đến $t = 2{,}5\,\text{s}$.

Giải. $\omega = \pi\,\text{rad/s}$, $T = 2\,\text{s}$. $\Delta t = 2{,}5\,\text{s} = T + \dfrac{T}{4}$. Một chu kì đi $4A = 24\,\text{cm}$. Sau đó pha là $\dfrac{\pi}{3}$ (như lúc đầu): $x = 3\,\text{cm}$, $v < 0$ (đang đi về phía vị trí cân bằng theo chiều âm). Trong $\dfrac{T}{4}$ tiếp theo, pha tăng $\dfrac{\pi}{2}$ từ $\dfrac{\pi}{3}$ lên $\dfrac{5\pi}{6}$:

• từ $x = 3$ về $x = 0$ (pha $\dfrac{\pi}{2}$): $3\,\text{cm}$;
• từ $x = 0$ đến $x = 6\cos\dfrac{5\pi}{6} = -3\sqrt3 \approx -5{,}196\,\text{cm}$: $5{,}196\,\text{cm}$ (chưa tới biên).

Tổng $S = 24 + 3 + 5{,}196 \approx 32{,}2\,\text{cm}$.

Vật dao động với $A = 6\,\text{cm}$, $T = 1{,}2\,\text{s}$. Trong khoảng thời gian $\Delta t = 0{,}4\,\text{s}$, tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất.

Giải. $\Delta t = \dfrac{T}{3}$ nên $\Delta\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. $S_{\max} = 2\cdot 6\sin\dfrac{\pi}{3} = 6\sqrt3 \approx 10{,}39\,\text{cm}$. $S_{\min} = 2\cdot 6\left(1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = 6\,\text{cm}$. Tốc độ trung bình lớn nhất $=\dfrac{10{,}39}{0{,}4} \approx 26{,}0\,\text{cm/s}$.