Đường tròn lượng giác, thời gian và quãng đường

Vẽ đường tròn tâm $O$ (vị trí cân bằng) bán kính $A$, trục $Ox$ nằm ngang cùng chiều dương với trục li độ. Điểm $P$ chạy ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc $\omega$; góc của $OP$ so với $Ox$ chính là pha $\theta = \omega t + \varphi$.

• Li độ $x = A\cos\theta$ là toạ độ ngang của $P$.
• Vận tốc $v = -\omega A\sin\theta$: $P$ ở nửa trên ($\sin\theta > 0$) thì $v < 0$ (vật đi sang trái, theo chiều âm); $P$ ở nửa dưới thì $v > 0$ (đi sang phải).
• Một chu kì ứng với một vòng $2\pi$; thời gian đi cung $\Delta\theta$ là

$$\Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega} = \frac{\Delta\theta}{2\pi}\,T.$$

Các vị trí đặc biệt ứng với các góc đặc biệt: biên dương $\theta = 0$, biên âm $\theta = \pi$, vị trí cân bằng $\theta = \pm\dfrac{\pi}{2}$ ($-\dfrac{\pi}{2}$: đang đi theo chiều dương; $+\dfrac{\pi}{2}$: đang đi theo chiều âm).

Các mốc $x = 0,\ \pm\dfrac{A}{2},\ \pm\dfrac{A\sqrt2}{2},\ \pm\dfrac{A\sqrt3}{2},\ \pm A$ ứng với các góc $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{6},0$ tính từ trục $Ox$. Thời gian đi giữa hai mốc gần nhau (không qua biên) cho trong bảng:

Đi từ	đến	Cung	Thời gian
$0$	$\pm\dfrac{A}{2}$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{T}{12}$
$\pm\dfrac{A}{2}$	$\pm A$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{T}{6}$
$0$	$\pm\dfrac{A\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{T}{8}$
$\pm\dfrac{A\sqrt2}{2}$	$\pm A$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{T}{8}$
$0$	$\pm\dfrac{A\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{T}{6}$
$\pm\dfrac{A\sqrt3}{2}$	$\pm A$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{T}{12}$
$0$	$\pm A$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{T}{4}$

Nhớ nhanh: từ vị trí cân bằng đến $\dfrac{A}{2}$ chỉ mất $\dfrac{T}{12}$ nhưng từ $\dfrac{A}{2}$ đến biên lại mất $\dfrac{T}{6}$ (gấp đôi), vì gần biên vật chạy chậm.

Một điều kiện về $x$, $\lvert v\rvert$ hoặc $\lvert a\rvert$ được đổi thành điều kiện về $x$, rồi tô cung tương ứng trên đường tròn:

Điều kiện	Quy về $x$	Khoảng thời gian trong một chu kì
$x \ge \dfrac{A}{2}$	cung quanh biên dương, góc $\pm\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{T}{3}$
$\lvert x\rvert \le \dfrac{A}{2}$	hai cung quanh vị trí cân bằng, mỗi cung $\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{T}{3}$
$\lvert v\rvert \ge \dfrac{v_{\max}}{2}$	$\lvert x\rvert \le \dfrac{A\sqrt3}{2}$	$\dfrac{2T}{3}$
$\lvert a\rvert \ge \dfrac{a_{\max}}{\sqrt2}$	$\lvert x\rvert \ge \dfrac{A\sqrt2}{2}$	$\dfrac{T}{2}$

Đổi điều kiện sang $x$ bằng $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ và $a = -\omega^2 x$.

• Trong một chu kì: $4A$. Trong nửa chu kì: $2A$ (bất kể xuất phát từ đâu).
• Trong $\dfrac{T}{4}$: bằng $A$ chỉ khi xuất phát từ vị trí cân bằng hoặc từ biên. Xuất phát từ chỗ khác thì phải tính theo cung.
• Với $\Delta t$ bất kì: tách $\Delta t = n\dfrac{T}{2} + \Delta t'$ ($0 \le \Delta t' < \dfrac{T}{2}$); quãng đường là $n\cdot 2A$ cộng quãng đường trong $\Delta t'$, tính theo li độ đầu và cuối, chú ý điểm quay đầu (biên) nằm giữa.
• Tốc độ trung bình $=\dfrac{S}{\Delta t}$ (quãng đường chia thời gian); khác với vận tốc trung bình $=\dfrac{x_2 - x_1}{\Delta t}$ (độ dịch chuyển chia thời gian). Sau mỗi chu kì vận tốc trung bình bằng $0$ còn tốc độ trung bình bằng $\dfrac{4A}{T}$.

Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng $\Delta t < \dfrac{T}{2}$, đặt $\Delta\theta = \omega\,\Delta t$:

$$S_{\max} = 2A\sin\frac{\Delta\theta}{2},\qquad S_{\min} = 2A\left(1 - \cos\frac{\Delta\theta}{2}\right).$$

Lí do: $S_{\max}$ khi cung $\Delta\theta$ đối xứng qua vị trí cân bằng (vật chạy nhanh nhất ở giữa), $S_{\min}$ khi cung đối xứng qua biên (chạy chậm ở hai đầu, mỗi bên quãng $A(1-\cos\dfrac{\Delta\theta}{2})$).

Nội dung	Ý chính
Đường tròn lượng giác	$P$ quay ngược kim đồng hồ, $x = A\cos\theta$; nửa trên $v < 0$, nửa dưới $v > 0$
Thời gian	$\Delta t = \dfrac{\Delta\theta}{\omega} = \dfrac{\Delta\theta}{2\pi}T$
Mốc đặc biệt	$0\to\dfrac{A}{2}$: $\dfrac{T}{12}$; $\dfrac{A}{2}\to A$: $\dfrac{T}{6}$; $0\to\dfrac{A\sqrt2}{2}$: $\dfrac{T}{8}$; $0\to A$: $\dfrac{T}{4}$
Quãng đường	$T$: $4A$; $\dfrac{T}{2}$: $2A$; $S_{\max} = 2A\sin\dfrac{\Delta\theta}{2}$, $S_{\min} = 2A\left(1 - \cos\dfrac{\Delta\theta}{2}\right)$
Tốc độ trung bình	$S/\Delta t$ (khác vận tốc trung bình $\Delta x/\Delta t$)