Con lắc đơn và thực hành đo gia tốc rơi tự do

Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượng $m$ treo vào đầu sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, chiều dài $l$; đầu kia cố định. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng (dây thẳng đứng) góc $\alpha$ rồi thả, vật chuyển động trên cung tròn bán kính $l$.

Gọi $s = l\alpha$ là li độ cung (độ dài đại số đo theo cung), $\alpha$ tính bằng rađian. Dọc theo cung, chỉ có thành phần của trọng lực là gây gia tốc (lực căng vuông góc cung):

$$ma_t = -mg\sin\alpha.$$

Với góc nhỏ (dưới khoảng $10^\circ$, tức $\alpha \lesssim 0{,}17\,\text{rad}$) thì $\sin\alpha \approx \alpha = \dfrac{s}{l}$, nên

$$a_t = -\frac{g}{l}\,s,$$

đúng dạng $a = -\omega^2 s$ của dao động điều hoà. Vậy con lắc đơn dao động điều hoà (gần đúng) với

Ý nghĩa:

• $T$ không phụ thuộc khối lượng $m$: trọng lực tăng cùng quán tính nên tác dụng triệt tiêu (giống như mọi vật rơi tự do cùng gia tốc).
• $T$ không phụ thuộc biên độ nếu góc nhỏ; với góc lớn $T$ tăng chút ít (xem Mở rộng).
• $T \propto \sqrt l$ và $T \propto 1/\sqrt g$: dây dài gấp $4$ thì $T$ gấp đôi; $g$ nhỏ hơn thì dao động chậm hơn.

Phương trình dao động: $s = S_0\cos(\omega t + \varphi)$ hay $\alpha = \alpha_0\cos(\omega t + \varphi)$ với $S_0 = l\alpha_0$. Vận tốc cực đại ở vị trí cân bằng $v_{\max} = \omega S_0 = \sqrt{gl}\,\alpha_0$.

Công thức $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ đúng với mọi $g$, miễn $g$ là gia tốc trọng trường hiệu dụng trong hệ quy chiếu của con lắc.

• Độ cao $h$ (Trái Đất bán kính $R = 6400\,\text{km}$): $g' = g\left(\dfrac{R}{R + h}\right)^2$, nên $T' = T\cdot\dfrac{R + h}{R} = T\left(1 + \dfrac{h}{R}\right)$: càng lên cao dao động càng chậm.
• Thang máy (hệ quy chiếu có gia tốc $\vec a$): $g'$ tính theo độ lớn: thang máy có gia tốc hướng lên (nhanh dần đi lên hay chậm dần đi xuống) thì $g' = g + a$; gia tốc hướng xuống (nhanh dần đi xuống hay chậm dần đi lên) thì $g' = g - a$; thang máy chuyển động đều thì $g' = g$. Rồi $\dfrac{T'}{T} = \sqrt{\dfrac{g}{g'}}$.
• Đồng hồ quả lắc: đồng hồ đếm số dao động của quả lắc rồi quy ra giây. Nếu chu kì thật đổi từ $T$ thành $T'$ thì đồng hồ chạy chậm khi $T' > T$ và nhanh khi $T' < T$. Trong thời gian thật $\Delta t$, số dao động là $\Delta t/T'$, đồng hồ hiển thị $\dfrac{\Delta t}{T'}T = \Delta t\,\dfrac{T}{T'}$; độ sai là $\Delta t\left|1 - \dfrac{T}{T'}\right|$. Với một ngày, $\Delta t = 86\,400\,\text{s}$.

Từ $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\,l$ suy ra

$$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}.$$

Dụng cụ: giá treo, dây mảnh không dãn, quả nặng nhỏ nặng, thước đo $l$ (từ điểm treo tới tâm quả nặng), đồng hồ bấm giây.

Quy trình:

1. Treo con lắc, đo $l$ bằng thước (tính từ điểm treo tới tâm quả nặng, nên cộng bán kính quả nặng vào chiều dài dây).
2. Kéo lệch một góc nhỏ (dưới $10^\circ$), thả nhẹ, để quả nặng dao động trong một mặt phẳng.
3. Đo thời gian $t$ của $N$ dao động toàn phần (chọn $N = 10$ đến $20$); $T = t/N$. Đo nhiều chu kì để sai số bấm đồng hồ chia nhỏ đi $N$ lần.
4. Lặp với các chiều dài $l$ khác nhau, ghi bảng $(l,\ T)$, tính $T^2$.
5. Vẽ đồ thị $T^2$ theo $l$: các điểm gần như nằm trên đường thẳng đi qua gốc với hệ số góc $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$, nên $g = \dfrac{4\pi^2}{k}$.

Sai số: $g$ tỉ lệ $l$ và $1/T^2$ nên sai số tỉ đối cộng lại:

$$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2\,\frac{\Delta T}{T}.$$

Cần chú ý $T$ xuất hiện với số mũ $2$, nên sai số của $T$ được tính gấp đôi. Kết quả viết $g = \bar g \pm \Delta g$ với $\Delta g$ làm tròn lên và $\bar g$ làm tròn theo cùng hàng.