Con lắc đơn và thực hành đo gia tốc rơi tự do

Con lắc đơn dài $0{,}25\,\text{m}$ ở nơi $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính chu kì và tần số.

Giải. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}25}{10}} = 2\pi\cdot 0{,}158 \approx 0{,}993\,\text{s}$; $f \approx 1{,}007\,\text{Hz}$.

Con lắc đơn có chu kì $2\,\text{s}$. Cắt ngắn dây đi $\dfrac{3}{4}$ chiều dài (còn $\dfrac{1}{4}$). Chu kì mới?

Giải. $T \propto \sqrt l$, nên $T' = 2\sqrt{\dfrac14} = 1\,\text{s}$. Ở $g = 9{,}8$, chiều dài ban đầu $l = \dfrac{gT^2}{4\pi^2} \approx 0{,}993\,\text{m}$ (con lắc "đếm giây").

Con lắc đơn dài $0{,}9\,\text{m}$ trong thang máy ở nơi $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính chu kì khi thang máy đứng yên và khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc $2\,\text{m/s}^2$.

Giải. Đứng yên: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}9}{10}} = 0{,}6\pi \approx 1{,}885\,\text{s}$. Đi lên nhanh dần: gia tốc hướng lên nên $g' = 10 + 2 = 12\,\text{m/s}^2$; $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}9}{12}} \approx 1{,}721\,\text{s}$, giảm khoảng $8{,}7\%$ ($T'/T = \sqrt{10/12} \approx 0{,}913$). Nếu thang máy đi lên chậm dần thì gia tốc hướng xuống, $g' = 10 - 2 = 8$ và chu kì tăng.

Đồng hồ quả lắc chạy đúng ở mặt đất, mang lên độ cao $h = 3{,}2\,\text{km}$ ($R = 6400\,\text{km}$). Mỗi ngày đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu giây?

Giải. $\dfrac{h}{R} = 0{,}0005$, $T' = T(1 + 0{,}0005) = 1{,}0005\,T > T$ nên chạy chậm. Sai lệch mỗi ngày $86\,400\left(1 - \dfrac{1}{1{,}0005}\right) \approx 43{,}2\,\text{s}$.

Một nhóm học sinh đo con lắc đơn dài $l = 0{,}600\,\text{m}$ và thấy $20$ dao động toàn phần mất $31{,}2\,\text{s}$. Tính $T$ và $g$.

Giải. $T = \dfrac{31{,}2}{20} = 1{,}56\,\text{s}$; $g = \dfrac{4\pi^2\cdot 0{,}600}{1{,}56^2} \approx 9{,}73\,\text{m/s}^2$.

Trong phép đo ở ví dụ 5: $\Delta l = 0{,}002\,\text{m}$, độ chính xác của đồng hồ bấm giây $\Delta t = 0{,}2\,\text{s}$ cho cả $20$ dao động. Tính sai số tuyệt đối của $g$ và viết kết quả.

Giải. $\Delta T = \dfrac{0{,}2}{20} = 0{,}01\,\text{s}$. $\dfrac{\Delta g}{g} = \dfrac{0{,}002}{0{,}600} + 2\cdot\dfrac{0{,}01}{1{,}56} \approx 0{,}0033 + 0{,}0128 = 0{,}0162$. $\Delta g \approx 0{,}0162\cdot 9{,}73 \approx 0{,}16\,\text{m/s}^2$.

Kết quả: $g = 9{,}73 \pm 0{,}16\,\text{m/s}^2$ (làm tròn $\Delta g$ lên $0{,}2$ thì viết $g = 9{,}7 \pm 0{,}2\,\text{m/s}^2$). Sai số chủ yếu đến từ đo thời gian, nên đo nhiều dao động hơn sẽ cải thiện.

Đo năm chiều dài, mỗi lần $10$ dao động:

Tìm $g$ từ đồ thị.

Giải. Các điểm $(l;\ T^2)$ gần như thẳng hàng qua gốc. Đường thẳng qua gốc khớp nhất có hệ số góc $k \approx 4{,}04\,\text{s}^2/\text{m}$, nên $g = \dfrac{4\pi^2}{4{,}04} \approx 9{,}77\,\text{m/s}^2$. Lấy từng điểm: $g = 9{,}79;\ 9{,}75;\ 9{,}86;\ 9{,}78;\ 9{,}74\,\text{m/s}^2$, trung bình khoảng $9{,}78\,\text{m/s}^2$.