Dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và cộng hưởng

Trong thực tế luôn có lực cản (ma sát, lực cản của không khí hay của chất lỏng). Lực cản sinh công âm làm cơ năng của hệ giảm dần, chuyển thành nhiệt. Biên độ vì thế giảm dần theo thời gian rồi dao động dừng hẳn.

Khi lực cản nhỏ, chu kì gần như không đổi nhưng biên độ giảm đều dần; khi lực cản đủ lớn (vật trong dầu nhớt) vật về vị trí cân bằng mà không dao động thêm lần nào (quá tắt).

Tắt dần có lợi trong giảm xóc ô tô, xe máy, bộ phận đóng cửa tự động: ta chủ động làm dao động tắt nhanh. Nó có hại ở chỗ ta cần dao động kéo dài (đồng hồ quả lắc, đàn).

Muốn dao động không tắt, phải bù năng lượng cho hệ đúng bằng phần mất đi mỗi chu kì, và bù đúng lúc. Đồng hồ quả lắc dùng dây cót (hay pin) qua bộ phận thoát: mỗi chu kì quả lắc nhận một cú đẩy nhỏ đúng nhịp. Dao động như vậy gọi là dao động duy trì: tần số vẫn là tần số riêng $f_0$ của hệ, biên độ không đổi. Ví dụ: xích đu được đẩy đúng pha, dây đàn khi kéo cung.

Cho ngoại lực biến thiên tuần hoàn $F = F_0\cos(\Omega t)$ tác dụng lên hệ. Sau một thời gian ngắn (giai đoạn chuyển tiếp) hệ dao động ổn định với:

• tần số bằng tần số của ngoại lực ($\Omega$ hay $f_{\text{cb}}$), không phải tần số riêng $f_0$;
• biên độ không đổi, phụ thuộc vào biên độ $F_0$ của ngoại lực, vào lực cản của môi trường và vào độ chênh lệch giữa $f_{\text{cb}}$ và $f_0$.

Đó là dao động cưỡng bức. Ví dụ: màng loa dao động theo dòng điện, võng ngồi trên xe chạy đường gồ ghề.

Lí do: khi lực đẩy cùng nhịp với dao động riêng, lực luôn cùng chiều vận tốc nên luôn sinh công dương, năng lượng được cộng dồn lên qua từng chu kì cho tới lúc phần năng lượng cung cấp mỗi chu kì bằng phần mất đi do lực cản.

Đường cong cộng hưởng là đồ thị biên độ $A$ theo tần số cưỡng bức $f_{\text{cb}}$. Đường cong có một đỉnh ở $f_{\text{cb}} \approx f_0$:

• lực cản nhỏ: đỉnh cao và nhọn;
• lực cản lớn: đỉnh thấp và rộng (và lệch nhẹ về tần số nhỏ hơn $f_0$);
• biên độ ngoại lực $F_0$ lớn thì toàn bộ đường cong cao lên.

Tác hại và lợi ích: cầu rung mạnh khi đoàn người bước đều đúng nhịp, nhà cao tầng và cầu treo cần tính toán tránh cộng hưởng với gió, động đất, động cơ máy; giảm xóc để tránh cộng hưởng của thân xe. Có lợi: hộp đàn, ống sáo cộng hưởng khuếch đại âm; lò vi sóng; thiết bị đo; xích đu khi đẩy đúng nhịp.

Con lắc lò xo nằm ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là $\mu$, lực ma sát trượt $F_{ms} = \mu mg$ gần như không đổi. Gọi

$$d = \frac{\mu mg}{k}$$

là độ biến dạng lò xo khi lực đàn hồi bằng lực ma sát: vị trí cân bằng tạm thời nằm cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn $d$, về phía chống lại chuyển động. Trong mỗi nửa chu kì (vật đi từ một điểm dừng sang điểm dừng bên kia), vật dao động quanh một vị trí cân bằng tạm thời, nên:

• biên độ (tính từ $O$) giảm đi $2d = \dfrac{2\mu mg}{k}$ sau mỗi nửa chu kì; giảm $\Delta A = \dfrac{4\mu mg}{k}$ sau mỗi chu kì;
• chu kì vẫn xấp xỉ $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (ma sát khô không đổi chu kì);
• quãng đường tổng cộng đến khi dừng, theo bảo toàn năng lượng (công của ma sát bằng cơ năng ban đầu): $s = \dfrac{kA_0^2}{2\mu mg}$ khi vật dừng ngay tại gần $O$;
• tổng số nửa chu kì $\approx \dfrac{A_0}{2d}$, số chu kì $N \approx \dfrac{A_0}{\Delta A}$, thời gian $\approx NT$.

Vật dừng khi lực đàn hồi không thắng nổi ma sát nghỉ (coi bằng ma sát trượt): $k\lvert x\rvert \le \mu mg$, tức $\lvert x\rvert \le d$. Nếu $\dfrac{A_0 - d}{2d}$ không nguyên thì số nửa chu kì lấy số nguyên lớn hơn gần nhất; vật dừng lại ở vị trí cách $O$ không quá $d$ (không nhất thiết đúng $O$).

Ma sát $\mu mg$: $d = \dfrac{\mu mg}{k}$; giảm $2d$ mỗi nửa chu kì, $4d$ mỗi chu kì; $s \approx \dfrac{kA_0^2}{2\mu mg}$.