Vận tốc, gia tốc và đồ thị của dao động điều hoà

Vận tốc tức thời là đạo hàm của li độ theo thời gian: $v = x'$. Với $x = A\cos(\omega t + \varphi)$:

$$v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi) = \omega A\cos\!\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right).$$

• Vận tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với li độ.
• Độ lớn cực đại $v_{\max} = \omega A$, đạt khi vật qua vị trí cân bằng ($x = 0$).
• Ở biên ($x = \pm A$) vận tốc bằng $0$ (vật đổi chiều).
• Dấu của $v$ cho biết chiều chuyển động: $v > 0$ vật đi theo chiều dương, $v < 0$ đi theo chiều âm.

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: $a = v'$. Ta được

$$a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x.$$

• Gia tốc ngược pha với li độ ($a = \omega^2 A\cos(\omega t + \varphi + \pi)$): luôn hướng về vị trí cân bằng.
• Độ lớn cực đại $a_{\max} = \omega^2 A$, đạt ở biên.
• Tại vị trí cân bằng $a = 0$.

Theo định luật II Newton, hợp lực tác dụng lên vật bằng $ma = -m\omega^2 x$, luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với li độ. Nó gọi là lực kéo về (lực hồi phục):

$$F = -m\omega^2 x = -kx \quad (k = m\omega^2).$$

Điều ngược lại cũng đúng: nếu hợp lực có dạng $F = -kx$ thì vật dao động điều hoà với $\omega = \sqrt{k/m}$. Đó là cách ta sẽ tìm chu kì của các con lắc ở các bài sau.

Từ $\cos^2 + \sin^2 = 1$ với $\cos(\omega t + \varphi) = x/A$ và $\sin(\omega t + \varphi) = -v/(\omega A)$:

$$\left(\frac{x}{A}\right)^2 + \left(\frac{v}{\omega A}\right)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}.$$

Hệ quả:

• đồ thị $v$ theo $x$ là elip (đường tròn nếu vẽ $v/\omega$ theo $x$);
• $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$: càng xa vị trí cân bằng thì tốc độ càng nhỏ;
• $a = -\omega^2 x$: đồ thị $a$ theo $x$ là đoạn thẳng đi qua gốc, dốc xuống;
• hệ thức giữa $a$ và $v$: $\left(\dfrac{a}{\omega^2 A}\right)^2 + \left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2 = 1$.

Hệ thức độc lập rất tiện khi đề cho $x$ và $v$ cùng lúc mà không cho $t$.

Đồ thị $x$–$t$ là đường hình sin (hình "sóng") có:

• giá trị lớn nhất $A$, nhỏ nhất $-A$;
• chu kì $T$: khoảng cách ngang giữa hai đỉnh liên tiếp;
• lúc $t = 0$: $x_0 = A\cos\varphi$.

Để lập phương trình từ đồ thị cần ba thông tin $A$, $\omega$, $\varphi$:

1. $A$ đọc từ giá trị cực đại của đồ thị.
2. $T$ đọc từ khoảng cách giữa hai điểm cùng trạng thái, hoặc từ thời gian giữa hai vị trí đặc biệt: từ vị trí cân bằng tới biên mất $T/4$, từ biên âm tới biên dương mất $T/2$. Rồi $\omega = 2\pi/T$.
3. $\varphi$ lấy từ một điểm đã biết trên đồ thị: lúc $t_1$ biết $x_1$ và chiều chuyển động (đồ thị đang đi lên thì $v > 0$, đi xuống thì $v < 0$). Giải $\cos(\omega t_1 + \varphi) = x_1/A$ và chọn nghiệm đúng dấu $\sin$: $v > 0$ nghĩa là $\sin(\omega t_1 + \varphi) < 0$.

Đại lượng	Công thức	Pha so với $x$	Cực đại
Li độ	$x = A\cos(\omega t + \varphi)$	—	$A$ (ở biên)
Vận tốc	$v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$	sớm $\pi/2$	$\omega A$ (ở cân bằng)
Gia tốc	$a = -\omega^2 x$	ngược pha	$\omega^2 A$ (ở biên)
Lực kéo về	$F = -kx = ma$	ngược pha	$kA$

Hệ thức độc lập: $A^2 = x^2 + \dfrac{v^2}{\omega^2}$; $\omega = \dfrac{a_{\max}}{v_{\max}}$.