Công của khí, định luật I nhiệt động lực học và chu trình

Khí nhận $Q=600\,\text{J}$ và giãn đẳng áp ở $p=2{,}0\cdot10^5\,\text{Pa}$ từ $4\,\text{L}$ đến $6\,\text{L}$. Tìm công khí sinh ra và $\Delta U$.

Giải. $\Delta V=2\cdot10^{-3}\,\text{m}^3$, công sinh ra $=p\Delta V=2{,}0\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3}=400\,\text{J}$, tức $A=-400\,\text{J}$. $\Delta U=A+Q=-400+600=200\,\text{J}$ (nội năng tăng, nhiệt độ tăng).

Khí bị nén đẳng áp ở $1{,}0\cdot10^5\,\text{Pa}$ từ $6\,\text{L}$ xuống $2\,\text{L}$ và toả nhiệt $700\,\text{J}$. Tìm $A$ và $\Delta U$.

Giải. $A=-p\Delta V=-1{,}0\cdot10^5\cdot(-4\cdot10^{-3})=+400\,\text{J}$ (khí nhận công). $Q=-700\,\text{J}$. $\Delta U=400-700=-300\,\text{J}$ (nội năng giảm).

Bình kín chứa $0{,}4\,\text{mol}$ khí đơn nguyên tử ($U=\tfrac32nRT$, $R=8{,}31$). Cần cung cấp nhiệt bao nhiêu để nhiệt độ tăng thêm $100\,\text{K}$?

Giải. Thể tích không đổi: $A=0$, $Q=\Delta U=\tfrac32nR\Delta T=1{,}5\cdot0{,}4\cdot8{,}31\cdot100\approx499\,\text{J}$.

Khí giãn từ $(V_1=2\,\text{L};p_1=1\cdot10^5\,\text{Pa})$ đến $(V_2=6\,\text{L};p_2=3\cdot10^5\,\text{Pa})$ theo đoạn thẳng trên đồ thị $p$–$V$. Tìm công khí sinh ra.

Giải. Công bằng diện tích hình thang: $\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\dfrac{(1+3)\cdot10^5}{2}\cdot4\cdot10^{-3}=800\,\text{J}$. Khí sinh công $800\,\text{J}$ ($A=-800\,\text{J}$).

Khí lí tưởng bị nén chậm ở nhiệt độ không đổi, nhận công $300\,\text{J}$. Khí trao đổi nhiệt thế nào?

Giải. Đẳng nhiệt: $\Delta U=0$, nên $Q=-A=-300\,\text{J}$: khí toả nhiệt $300\,\text{J}$ ra môi trường.

$1\,\text{mol}$ khí đơn nguyên tử ($U=\tfrac32nRT$, $R=8{,}31$) thực hiện chu trình: $1\to2$ đẳng tích, $p$ từ $1{,}0\cdot10^5$ lên $2{,}0\cdot10^5\,\text{Pa}$ ($V=0{,}020\,\text{m}^3$); $2\to3$ đẳng áp, $V$ từ $0{,}020$ lên $0{,}040\,\text{m}^3$; $3\to4$ đẳng tích, $p$ về $1{,}0\cdot10^5\,\text{Pa}$; $4\to1$ đẳng áp, $V$ về $0{,}020\,\text{m}^3$. Tính công ròng, nhiệt nhận và hiệu suất.

Giải. Từ $T=\dfrac{pV}{nR}$: $T_1\approx240{,}7\,\text{K}$, $T_2\approx481{,}3\,\text{K}$, $T_3\approx962{,}7\,\text{K}$, $T_4\approx481{,}3\,\text{K}$.

Công ròng $=$ diện tích hình chữ nhật $=(2{,}0-1{,}0)\cdot10^5\cdot0{,}020=2000\,\text{J}$ (chiều kim đồng hồ: khí sinh công).

Nhiệt nhận: $1\to2$: $A=0$, $Q=\Delta U=\tfrac32V(p_2-p_1)=3000\,\text{J}$. $2\to3$: $\Delta U=\tfrac32p_2\Delta V=6000\,\text{J}$, khí sinh $p_2\Delta V=4000\,\text{J}$, $Q=\Delta U-A=6000+4000=10\,000\,\text{J}$ (vì $A=-4000$). Hai giai đoạn $3\to4$ và $4\to1$ khí làm nguội và toả nhiệt. $Q_{\text{nhận}}=3000+10\,000=13\,000\,\text{J}$.

$H=\dfrac{2000}{13\,000}\approx15{,}4\%$, nhỏ hơn giới hạn Carnot $1-\dfrac{T_1}{T_3}=1-\dfrac{240{,}7}{962{,}7}=75\%$.

Chu trình $1\to2\to3\to1$: $1(2\,\text{L};1\cdot10^5)$, $2(2\,\text{L};3\cdot10^5)$, $3(6\,\text{L};1\cdot10^5)$ (Pa), $1\to2$ đẳng tích, $2\to3$ đoạn thẳng, $3\to1$ đẳng áp. Tìm công ròng khí sinh ra.

Giải. Chiều $1\to2\to3\to1$ là chiều kim đồng hồ trên đồ thị $p$–$V$ nên khí sinh công ròng, bằng diện tích tam giác: $\tfrac12\cdot(6-2)\cdot10^{-3}\cdot(3-1)\cdot10^5=400\,\text{J}$. Kiểm lại: $2\to3$ sinh $800\,\text{J}$ (hình thang), $3\to1$ nhận $1\cdot10^5\cdot4\cdot10^{-3}=400\,\text{J}$, $1\to2$ không công; ròng sinh $800-400=400\,\text{J}$.