Áp suất khí theo mô hình động học, động năng phân tử và nhiệt độ

• $N$: số phân tử khí; $V$: thể tích; mật độ phân tử $\mu=\dfrac NV$ (đơn vị $\text{m}^{-3}$).
• $m$: khối lượng một phân tử; khối lượng riêng $\rho=\mu m$ (đơn vị $\text{kg/m}^3$).
• $\langle v^2\rangle$: trung bình của bình phương tốc độ; căn của nó là tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}$ (kí hiệu cũng thường là $\sqrt{\overline{v^2}}$).
• Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử $\overline{W_{\text{đ}}}=\dfrac12m\langle v^2\rangle$.

Chú ý: $\mu$ (mật độ phân tử, số hạt trên mét khối) khác $\rho$ (khối lượng trên mét khối); cũng đừng nhầm $\mu$ với khối lượng mol $M$.

Vì sao có hệ số $\tfrac13$? Xét hộp lập phương cạnh $L$ và một phân tử có thành phần vận tốc $v_x$ vuông góc với thành hộp. Mỗi lần nảy đàn hồi, động lượng của nó đổi một lượng $2mv_x$. Đi hết một vòng đi-về giữa hai thành mất $\dfrac{2L}{v_x}$, nên mỗi giây thành nhận lực trung bình từ phân tử đó là $\dfrac{2mv_x}{2L/v_x}=\dfrac{mv_x^2}{L}$. Cộng cho $N$ phân tử, $F=\dfrac{Nm\langle v_x^2\rangle}{L}$. Chuyển động hỗn loạn nên cả ba phương như nhau: $\langle v_x^2\rangle=\dfrac13\langle v^2\rangle$. Áp suất $p=\dfrac{F}{L^2}=\dfrac{Nm\langle v^2\rangle}{3L^3}=\dfrac13\mu m\langle v^2\rangle$.

Công thức nói lên hai nguyên nhân làm tăng áp suất: nhiều phân tử hơn trong cùng thể tích ($\mu$ tăng), hoặc phân tử nhanh hơn ($\langle v^2\rangle$ tăng, tức nhiệt độ tăng).

Từ $pV=NkT$ (bài 4) và $pV=\dfrac13Nm\langle v^2\rangle$ ta suy ra

$k$ gọi là hằng số Boltzmann. Ý nghĩa vật lí: nhiệt độ tuyệt đối tỉ lệ thuận với động năng tịnh tiến trung bình của phân tử; nhiệt độ cao nghĩa là phân tử chuyển động nhanh. Do $\dfrac12m\langle v^2\rangle=\dfrac32kT$ nên

$$v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

(với $M$ tính bằng kg/mol). Hệ quả: gấp đôi $T$ thì động năng gấp đôi nhưng tốc độ chỉ tăng $\sqrt2$ lần; ở cùng $T$, phân tử nhẹ chạy nhanh hơn phân tử nặng theo tỉ lệ $\sqrt{M_2/M_1}$.

Từ $p=\dfrac23\mu\overline{W_{\text{đ}}}$ và $\overline{W_{\text{đ}}}=\dfrac32kT$ cũng suy ra $p=\mu kT$, tức $pV=NkT$.

Các va chạm liên tục làm tốc độ của từng phân tử thay đổi, nên trong khối khí luôn có phân tử chậm, phân tử nhanh, tập trung nhiều nhất quanh một tốc độ nào đó. Khi nhiệt độ tăng, đỉnh phân bố dịch sang phải (tốc độ điển hình lớn hơn) và đường cong thấp, rộng hơn vì cùng số phân tử phải trải ra khoảng tốc độ rộng hơn. Phân tử nhẹ (H$_2$, He) có phân bố nằm xa hơn về phía tốc độ lớn so với phân tử nặng (O$_2$, CO$_2$) ở cùng nhiệt độ. (Đường cong chính xác là phân bố Maxwell–Boltzmann, ngoài yêu cầu bắt buộc; mô phỏng dưới đây chỉ để thấy xu hướng, và $v_{\text{rms}}$ ứng với công thức ở mục 3.)

• $p=\dfrac13\mu m\langle v^2\rangle=\dfrac13\rho\langle v^2\rangle=\dfrac23\mu\overline{W_{\text{đ}}}$.
• $\overline{W_{\text{đ}}}=\dfrac32kT$; $k=R/N_A=1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{J/K}$; $pV=NkT$.
• $v_{\text{rms}}=\sqrt{3kT/m}=\sqrt{3RT/M}$; $T\uparrow$ thì phân bố tốc độ dịch sang nhanh, nhẹ thì nhanh hơn.