Điện tích chuyển động trong điện trường đều

Trong mục này lấy $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}$, $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{kg}$, $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}$; bỏ qua trọng lực với electron và proton.

Electron xuất phát từ nghỉ ở bản âm, được tăng tốc tới bản dương qua hiệu điện thế $U = 400\,\text{V}$. Tính tốc độ khi tới bản dương. Nếu thay bằng proton thì tốc độ là bao nhiêu?

Giải. $\tfrac12m_ev^2 = eU$ nên $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot400}{9{,}1\cdot10^{-31}}} \approx 1{,}19\cdot10^7\,\text{m/s}$. Proton: $v_p = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot400}{1{,}67\cdot10^{-27}}} \approx 2{,}77\cdot10^5\,\text{m/s}$, nhỏ hơn khoảng 43 lần vì khối lượng lớn hơn ($\sqrt{m_p/m_e} \approx 43$).

Electron bay vào điện trường đều $E = 5000\,\text{V/m}$ ngược chiều lực điện, với $v_0 = 10^7\,\text{m/s}$. Tính gia tốc, quãng đường đi được tới khi dừng và hiệu điện thế hãm tương ứng.

Giải. $a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000}{9{,}1\cdot10^{-31}} \approx 8{,}79\cdot10^{14}\,\text{m/s}^2$ (ngược chiều chuyển động). $s = \dfrac{m_ev_0^2}{2eE} = \dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot10^{14}}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000} \approx 5{,}69\cdot10^{-2}\,\text{m} \approx 5{,}7\,\text{cm}$. Hiệu điện thế hãm $U_h = Es \approx 284\,\text{V}$ (kiểm: $\dfrac{m_ev_0^2}{2e} \approx 284\,\text{V}$).

Electron bay vào chính giữa hai bản phẳng nằm ngang, dài $L = 4\,\text{cm}$, cách nhau $d = 2\,\text{cm}$, $U = 90\,\text{V}$, với $v_0 = 3\cdot10^7\,\text{m/s}$ song song bản. Tính độ lệch khi ra khỏi bản, góc lệch và tốc độ ra.

Giải. $a = \dfrac{eU}{m_ed} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot90}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot0{,}02} \approx 7{,}91\cdot10^{14}\,\text{m/s}^2$. Thời gian bay $t = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{0{,}04}{3\cdot10^7} \approx 1{,}33\cdot10^{-9}\,\text{s}$. Độ lệch $y = \tfrac12at^2 \approx 7{,}0\cdot10^{-4}\,\text{m} = 0{,}70\,\text{mm}$ (về phía bản dương). $v_y = at \approx 1{,}05\cdot10^6\,\text{m/s}$, $\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_0} \approx 0{,}035$, $\theta \approx 2{,}0^\circ$. Tốc độ ra $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} \approx 3{,}00\cdot10^7\,\text{m/s}$.

Với bản ở Ví dụ 3, tìm $U_{max}$ để electron vào chính giữa vẫn bay ra khỏi bản.

Giải. Điều kiện $y \le d/2$: $U_{max} = \dfrac{m_ed^2v_0^2}{eL^2} = \dfrac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(0{,}02)^2\cdot(3\cdot10^7)^2}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(0{,}04)^2} \approx 1280\,\text{V}$. Vì $y \propto U$ nên từ $y = 0{,}70\,\text{mm}$ ở $90\,\text{V}$ tới $y = 10\,\text{mm}$ cần $U \approx 90\cdot\dfrac{10}{0{,}703} \approx 1280\,\text{V}$, khớp.