Điện trường, cường độ điện trường và đường sức

Trong mục này $k = 9\cdot10^9\,\text{N·m}^2/\text{C}^2$, đặt trong không khí.

Cho hình đường sức của hai điện tích điểm: các đường sức xuất phát từ $A$ rồi cong sang kết thúc ở $B$. (a) $A$ và $B$ mang điện gì? (b) Tại điểm $P$ đường sức dày hơn điểm $S$ thì $E_P$ so với $E_S$ thế nào? (c) Electron thả nhẹ tại một điểm trên đường sức sẽ bắt đầu chuyển động theo chiều nào?

Giải. (a) Đường sức đi ra từ điện tích dương, vào điện tích âm: $A$ dương, $B$ âm. (b) Đường sức dày hơn nên $E_P > E_S$. (c) Electron mang điện âm, lực ngược chiều $\vec E$: bắt đầu chuyển động ngược chiều mũi tên đường sức (về phía $A$).

$Q = 5\,\text{nC}$ đặt trong không khí. Tính $E$ tại điểm $M$ cách $Q$ là $3\,\text{cm}$. Đặt tại $M$ điện tích $q = -2\,\text{nC}$, tính lực điện. Nếu $M$ dời ra xa gấp đôi thì $E$ bằng bao nhiêu?

Giải. $E = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{5\cdot10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 5\cdot10^4\,\text{V/m}$, hướng ra xa $Q$ ($Q > 0$). Lực: $F = \lvert q\rvert E = 2\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^4 = 1\cdot10^{-4}\,\text{N}$; $q < 0$ nên lực ngược chiều $\vec E$, hướng về $Q$ (hút). Khi $r$ gấp đôi, $E' = \dfrac{5\cdot10^4}{4} = 1{,}25\cdot10^4\,\text{V/m}$.

Tại điểm cách điện tích $Q$ là $0{,}5\,\text{m}$, điện trường có độ lớn $3600\,\text{V/m}$ và hướng vào $Q$. Tìm $Q$.

Giải. $\lvert Q\rvert = \dfrac{Er^2}{k} = \dfrac{3600\cdot0{,}25}{9\cdot10^9} = 1\cdot10^{-7}\,\text{C}$. $\vec E$ hướng vào nên $Q < 0$: $Q = -10^{-7}\,\text{C} = -100\,\text{nC}$.

$q_1 = +3\,\text{nC}$ tại $A$ và $q_2 = -4\,\text{nC}$ tại $B$. Điểm $M$ có $MA = 3\,\text{cm}$, $MB = 4\,\text{cm}$ và $MA \perp MB$. Tính điện trường tại $M$.

Giải. $E_1 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{3\cdot10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 3{,}0\cdot10^4\,\text{V/m}$, hướng ra xa $A$. $E_2 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{4\cdot10^{-9}}{(0{,}04)^2} = 2{,}25\cdot10^4\,\text{V/m}$, hướng về $B$. Hai vectơ vuông góc (một dọc $MA$, một dọc $MB$):

$$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{3{,}0^2 + 2{,}25^2}\cdot10^4 = 3{,}75\cdot10^4\,\text{V/m}.$$

$q_1 = 9\,\text{nC}$ tại $A$, $q_2 = 4\,\text{nC}$ tại $B$, $AB = 25\,\text{cm}$. Tìm điểm $M$ trên $AB$ có $E = 0$.

Giải. Cùng dấu nên $M$ ở trong đoạn $AB$. Đặt $MA = x$, $MB = 0{,}25 - x$: $\dfrac{9}{x^2} = \dfrac{4}{(0{,}25 - x)^2}$, nên $\dfrac{x}{0{,}25 - x} = \dfrac{3}{2}$, $x = 0{,}15\,\text{m}$. Kiểm: $E_1 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{9\cdot10^{-9}}{0{,}15^2} = 3600\,\text{V/m}$ và $E_2 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{4\cdot10^{-9}}{0{,}10^2} = 3600\,\text{V/m}$, ngược chiều. $M$ cách $A$ $15\,\text{cm}$, cách $B$ $10\,\text{cm}$.

$q_1 = +4\,\text{nC}$ tại $A$, $q_2 = -1\,\text{nC}$ tại $B$, $AB = 30\,\text{cm}$. Tìm điểm $M$ có $E = 0$.

Giải. Trái dấu nên $M$ nằm ngoài đoạn $AB$, về phía điện tích nhỏ hơn ($B$): đặt $MB = y$, $MA = y + 0{,}3$. $\dfrac{4}{(y + 0{,}3)^2} = \dfrac{1}{y^2}$ nên $\dfrac{y + 0{,}3}{y} = 2$, $y = 0{,}3\,\text{m}$. $M$ nằm trên đường $AB$, phía ngoài $B$, cách $B$ $30\,\text{cm}$ và cách $A$ $60\,\text{cm}$.

Hai điện tích $q = +2\,\text{nC}$ giống nhau đặt tại $A(-3\,\text{cm}; 0)$ và $B(3\,\text{cm}; 0)$. Tính điện trường tại $M(0; 4\,\text{cm})$.

Giải. $AM = BM = 5\,\text{cm}$. Mỗi điện tích gây $E_0 = 9\cdot10^9\cdot\dfrac{2\cdot10^{-9}}{0{,}05^2} = 7200\,\text{V/m}$. Hai vectơ đối xứng qua trục $Oy$, các thành phần theo $Ox$ triệt tiêu; thành phần theo $Oy$ cộng nhau, mỗi thành phần $E_0\cdot\dfrac{4}{5}$. Vậy $E = 2\cdot7200\cdot\dfrac45 = 11520\,\text{V/m}$, hướng theo $+Oy$ (ra xa hai điện tích).