Con lắc lò xo

Quả nặng $m = 0{,}25\,\text{kg}$ gắn vào lò xo $k = 100\,\text{N/m}$ trên mặt ngang không ma sát. Tính $\omega$, $T$, $f$.

Giải. $\omega = \sqrt{\dfrac{100}{0{,}25}} = 20\,\text{rad/s}$; $T = \dfrac{2\pi}{20} = \dfrac{\pi}{10} \approx 0{,}314\,\text{s}$; $f = \dfrac{1}{T} \approx 3{,}18\,\text{Hz}$.

Con lắc có $m = 0{,}1\,\text{kg}$, $k = 40\,\text{N/m}$. Gắn thêm vào quả nặng một vật $0{,}3\,\text{kg}$. Chu kì thay đổi thế nào?

Giải. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}1}{40}} = \dfrac{\pi}{10} \approx 0{,}314\,\text{s}$. Khối lượng mới $m' = 0{,}4\,\text{kg} = 4m$ nên $T' = T\sqrt4 = 2T \approx 0{,}628\,\text{s}$ (chu kì gấp đôi).

Hai lò xo $k_1 = 30\,\text{N/m}$ và $k_2 = 60\,\text{N/m}$ cùng gắn với quả nặng $m = 0{,}2\,\text{kg}$ trên mặt ngang: một lần ghép nối tiếp, một lần ghép song song. Tính chu kì mỗi lần.

Giải. Nối tiếp: $k = \dfrac{30\cdot 60}{30 + 60} = 20\,\text{N/m}$, $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{20}} = 0{,}2\pi \approx 0{,}628\,\text{s}$. Song song: $k = 90\,\text{N/m}$, $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{90}} \approx 0{,}296\,\text{s}$. Ghép song song cứng hơn nên dao động nhanh hơn.

Lò xo $k_0 = 60\,\text{N/m}$ dài $30\,\text{cm}$ được cắt thành hai đoạn dài $20\,\text{cm}$ và $10\,\text{cm}$. Tính độ cứng mỗi đoạn.

Giải. $k\,l$ không đổi: $k_1 = 60\cdot\dfrac{30}{20} = 90\,\text{N/m}$, $k_2 = 60\cdot\dfrac{30}{10} = 180\,\text{N/m}$. Kiểm: ghép nối tiếp lại ra $\dfrac{90\cdot 180}{90 + 180} = 60\,\text{N/m}$.

Một con lắc lò xo $k = 50\,\text{N/m}$ dao động với chu kì $0{,}4\,\text{s}$. Tìm khối lượng quả nặng.

Giải. $m = \dfrac{kT^2}{4\pi^2} = \dfrac{50\cdot 0{,}16}{4\pi^2} \approx 0{,}203\,\text{kg}$ (khoảng $203\,\text{g}$).

Con lắc lò xo treo thẳng đứng: $m = 0{,}2\,\text{kg}$, $k = 50\,\text{N/m}$, $g = 10\,\text{m/s}^2$. Kéo quả nặng xuống khỏi vị trí cân bằng $6\,\text{cm}$ rồi thả nhẹ. Tính $\Delta l_0$, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu, lực đẩy lớn nhất và thời gian lò xo bị nén trong mỗi chu kì.

Giải. $\Delta l_0 = \dfrac{0{,}2\cdot 10}{50} = 0{,}04\,\text{m} = 4\,\text{cm}$. Biên độ $A = 6\,\text{cm} > \Delta l_0$ nên có lúc nén.

• $F_{\text{đh,max}} = 50\,(0{,}04 + 0{,}06) = 5\,\text{N}$; $F_{\text{đh,min}} = 0$; lực đẩy lớn nhất $50\,(0{,}06 - 0{,}04) = 1\,\text{N}$.
• $\omega = \sqrt{250} \approx 15{,}81\,\text{rad/s}$, $T \approx 0{,}397\,\text{s}$. $\alpha = \arccos\dfrac{4}{6} \approx 0{,}841\,\text{rad}$, thời gian nén $\dfrac{2\alpha}{\omega} \approx 0{,}106\,\text{s}$, khoảng $0{,}27T$.

Cùng loại bài với $m = 0{,}4\,\text{kg}$, $k = 100\,\text{N/m}$, $g = 10\,\text{m/s}^2$, biên độ $A = 3\,\text{cm}$. Tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu.

Giải. $\Delta l_0 = \dfrac{0{,}4\cdot 10}{100} = 0{,}04\,\text{m} = 4\,\text{cm} > A$ nên lò xo luôn giãn. $F_{\text{đh,max}} = 100\cdot 0{,}07 = 7\,\text{N}$, $F_{\text{đh,min}} = 100\cdot 0{,}01 = 1\,\text{N}$.