Phép chiếu song song và hình biểu diễn của hình không gian

Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ với $AM : MB = 2 : 3$. Qua một phép chiếu song song, $A, B, M$ có hình chiếu $A', B', M'$ và $A'B' = 10$. Tính $A'M'$ và $M'B'$.

Giải. $M, A, B$ thẳng hàng nên tỉ số được bảo toàn: $A'M' : M'B' = 2 : 3$. Vậy

$$A'M' = \frac25\cdot 10 = 4, \qquad M'B' = \frac35\cdot 10 = 6.$$

Kiểm bằng toạ độ: chiếu lên mặt phẳng $z = 0$ theo phương $\vec l = (1;2;1)$, điểm $A(1;1;3)$ có hình chiếu $A'(-2;-5;0)$, và $B(9;13;5)$ có hình chiếu $B'(4;3;0)$, $A'B' = 10$. Điểm $M$ chia $AB$ theo tỉ số $2 : 3$ có $A'M' = 4$, $M'B' = 6$. Lưu ý độ dài thật $AB$ khác $10$.

Hình thang $ABCD$ có đáy $AB \parallel CD$ và $AB = 2CD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Qua một phép chiếu song song (phương chiếu không song song mặt phẳng hình thang), ta được $A'B'C'D'$ và $O'$. Biết $C'D' = 3$. Tính $A'B'$ và $\dfrac{O'A'}{O'C'}$.

Giải. $AB \parallel CD$ nên $A'B' \parallel C'D'$ (song song được bảo toàn) và $A'B' : C'D' = AB : CD = 2$, vậy $A'B' = 6$.

Trong hình thang $ABCD$, do $AB \parallel CD$ nên $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD} = 2$. Ba điểm $A, O, C$ thẳng hàng, tỉ số được bảo toàn: $\dfrac{O'A'}{O'C'} = 2$. Số liệu thử: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $D(2;3;3)$, $C(6;3;3)$ chiếu lên $z = 0$ theo $\vec l = (1;0;1)$ cho $A'B' = 8$, $C'D' = 4$ và $O'A' = 2\,O'C'$.

Tam giác đều $ABC$ cạnh $6$ nằm trong mặt phẳng nghiêng; chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $\vec l$ cho $A'B'C'$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $G$ là trọng tâm $ABC$. Hỏi $A'B'C'$ có phải tam giác đều không? Tính $\dfrac{A'G'}{A'M'}$.

Giải. $M'$ là trung điểm của $B'C'$ (trung điểm được bảo toàn), $G'$ là trọng tâm của $A'B'C'$ nên $\dfrac{A'G'}{A'M'} = \dfrac23$.

Về độ dài: với toạ độ $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C\left(3; \dfrac{3\sqrt3}{2}; \dfrac92\right)$ (tam giác đều cạnh $6$) và phép chiếu lên $z = 0$ theo $\vec l = (1;0;1)$, ta được $A'B' = 6$, $A'C' = 3$, $B'C' = 3\sqrt7$. Ba cạnh khác nhau: hình biểu diễn của tam giác đều không đều, và tỉ số hai cạnh không bảo toàn vì $AB$, $AC$ không cùng phương.

Vẽ hình biểu diễn kiểu cavalier của hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 6$, $AD = 4$, $AA' = 5$.

Giải. Mặt trước $ABB'A'$ vẽ hình chữ nhật $6 \times 5$ trên giấy, ví dụ $A(0;0)$, $B(6;0)$, $B'(6;5)$, $A'(0;5)$. Cạnh sâu $AD$ dài $4$ nên vẽ dài $\dfrac12\cdot 4 = 2$, nghiêng $45^\circ$: toạ độ $D\left(\sqrt2; \sqrt2\right)$ (vì $2\cos45^\circ = \sqrt2$). Tịnh tiến các điểm $A, B, A', B'$ theo vectơ $\overrightarrow{AD}$ vừa vẽ: $C\left(6 + \sqrt2; \sqrt2\right)$, $D'\left(\sqrt2; 5 + \sqrt2\right)$, $C'\left(6 + \sqrt2; 5 + \sqrt2\right)$. Cạnh nét đứt (khuất): $AD$, $DC$, $DD'$.

Kiểm tra: $AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD'$ và cùng dài $5$; $AB \parallel DC$ và cùng dài $6$; cạnh sâu $BC$ vẽ dài $2$. Các quan hệ song song được giữ nguyên nhưng góc $\widehat{BAD}$ (thật là $90^\circ$) bị vẽ thành $45^\circ$.