Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khi hình có ba cạnh đôi một vuông góc chung một đỉnh (hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chóp có $SA \perp$ đáy hình vuông hay chữ nhật), đặt gốc toạ độ $Oxyz$ tại đỉnh đó, các trục theo ba cạnh. Khi có toạ độ:

• Hai điểm: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
• Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec u$, $\vec v$: $\cos\varphi = \dfrac{\lvert \vec u \cdot \vec v \rvert}{\lvert \vec u \rvert\,\lvert \vec v \rvert}$.
• Mặt phẳng qua $A$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \vec u \times \vec v$ ($\vec u$, $\vec v$ hai vectơ trong mặt phẳng): khoảng cách $d(M, (P)) = \dfrac{\lvert \vec n \cdot \overrightarrow{AM} \rvert}{\lvert \vec n \rvert}$.
• Hai đường chéo nhau, đi qua $A$, $B$ với vectơ chỉ phương $\vec u$, $\vec v$:

Các bước: chọn gốc và trục; viết toạ độ mọi đỉnh và điểm phụ (trung điểm, trọng tâm); lập vectơ chỉ phương; thay vào công thức; cuối cùng đối chiếu với kết quả hình học nếu có.

Ví dụ M1. Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$, chọn $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A'(0;0;a)$. Khi đó $C(a;a;0)$, $B'(a;0;a)$, $C'(a;a;a)$. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB'} = (a; 0; a)$, $\overrightarrow{BC'} = (0; a; a)$, tích có hướng $(-a^2; -a^2; a^2)$ có độ dài $a^2\sqrt3$; $\overrightarrow{AB} = (a; 0; 0)$ nên tử số là $\lvert -a^3 \rvert = a^3$ và $d(AB', BC') = \dfrac{a^3}{a^2\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$, trùng Ví dụ 2. Góc: $\cos\varphi = \dfrac{a^2}{a\sqrt2 \cdot a\sqrt2} = \dfrac12$, nên $(AB', BC') = 60^\circ$.

Ví dụ M2. Hình chóp $S.ABCD$ như Ví dụ 3 với $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a)$, nên $C(a;a;0)$. $\overrightarrow{SB} = (a; 0; -a)$, $\overrightarrow{AC} = (a; a; 0)$ có $\cos\varphi = \dfrac{a^2}{a\sqrt2 \cdot a\sqrt2} = \dfrac12$: góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $60^\circ$. Mặt phẳng $(SBD)$ có phương trình $x + y + z = a$, suy ra $d(A, (SBD)) = \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$, khớp với bài 2.

Ví dụ M3. Lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB = AC = a$, $AA' = 2a$. Chọn $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $B'(a;0;2a)$. $\overrightarrow{AB'} = (a; 0; 2a)$, $\overrightarrow{BC} = (-a; a; 0)$, tích có hướng $(-2a^2; -2a^2; a^2)$ có độ dài $3a^2$; $\overrightarrow{AB} = (a; 0; 0)$ cho tử số $2a^3$. Vậy $d(AB', BC) = \dfrac{2a}{3}$. Góc: $\cos\varphi = \dfrac{a^2}{a\sqrt5 \cdot a\sqrt2} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$.