Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

$AA' \perp (ABCD)$, $BD \subset (ABCD)$. Gọi $O$ là tâm $ABCD$ thì $AO \perp BD$, $AO \perp AA'$, nên $d(AA', BD) = AO = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

$B'D' \subset (A'B'C'D')$, $AC \parallel A'C' \subset (A'B'C'D')$ nên $AC \parallel (A'B'C'D')$. Khoảng cách bằng $d((ABCD), (A'B'C'D')) = a$.

Gọi $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $CD$; $MN$ là đoạn vuông góc chung. $CM = DM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$, $MN = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Kẻ $AH \perp BD$ trong đáy; $AH$ vuông góc $AA'$ và $BD$. $BD = 5$, $AH = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$: $AM \perp BC$ và $AM \perp AA'$, nên $d(AA', BC) = AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.