Hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng $a$, $b$ trong không gian. Lấy điểm $O$ tuỳ ý, qua $O$ dựng $a' \parallel a$ và $b' \parallel b$. Góc giữa $a'$ và $b'$ gọi là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, kí hiệu $(a, b)$.

• Góc không phụ thuộc vị trí điểm $O$.
• $0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ$ (luôn lấy góc không tù).
• $a \parallel b$ hoặc $a \equiv b$ thì $(a, b) = 0^\circ$.

Hai đường thẳng $a$, $b$ vuông góc nếu $(a, b) = 90^\circ$, viết $a \perp b$. Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Vectơ $\vec u \ne \vec 0$ có giá song song hoặc trùng đường thẳng $a$ gọi là vectơ chỉ phương của $a$. Nếu $\vec u$, $\vec v$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$, $b$ thì

Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc: hai vectơ chỉ phương của cùng một đường có thể ngược hướng, còn góc giữa hai đường thẳng không bao giờ tù.

Tứ diện $ABCD$ có ba cặp cạnh đối: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$, $(AD, BC)$. Đặt $\vec b = \overrightarrow{AB}$, $\vec c = \overrightarrow{AC}$, $\vec d = \overrightarrow{AD}$ thì $\overrightarrow{CD} = \vec d - \vec c$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = \vec b\cdot\vec d - \vec b\cdot\vec c.$ Mỗi tích vô hướng đổi được sang độ dài, từ $BD^2 = (\vec d - \vec b)^2$ suy ra $2\vec b\cdot\vec d = AB^2 + AD^2 - BD^2$; tương tự $2\vec b\cdot\vec c = AB^2 + AC^2 - BC^2$. Trừ hai đẳng thức, $AB^2$ triệt tiêu:

Ghi nhớ: tử số là hiệu của hai tổng, mỗi tổng là bình phương hai cạnh của một cặp cạnh đối còn lại ($AD^2 + BC^2$ và $AC^2 + BD^2$); mẫu số là $2$ lần tích hai cạnh đang xét. Hệ quả:

$$AB \perp CD \iff AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2.$$

Nội dung	Kết quả
Góc hai đường thẳng	góc hai đường cắt nhau song song với chúng, thuộc $[0^\circ; 90^\circ]$
Vectơ chỉ phương	$\cos(a,b) = \dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec v\rvert}{\lvert\vec u\rvert\,\lvert\vec v\rvert}$
Vuông góc	$\vec u\cdot\vec v = 0$
Cạnh đối tứ diện	$\cos(AB,CD) = \dfrac{\lvert (AD^2+BC^2)-(AC^2+BD^2)\rvert}{2\,AB\cdot CD}$
Tứ diện: $AB\perp CD$	$AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2$