Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

a) Cho $6$ điểm phân biệt, không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong sáu điểm đó?

b) Cho $5$ điểm $A, B, C, D, E$ trong đó $A, B, C, D$ đồng phẳng (không ba điểm nào thẳng hàng) còn $E$ nằm ngoài mặt phẳng ấy và không thẳng hàng với hai điểm bất kì trong bốn điểm kia. Có bao nhiêu mặt phẳng qua ba trong năm điểm?

Giải. a) Không có $4$ điểm đồng phẳng nên hai bộ ba khác nhau cho hai mặt phẳng khác nhau: $\binom{6}{3} = 20$ mặt phẳng.

b) Có $\binom{5}{3} = 10$ bộ ba. Bốn bộ ba trong $\{A, B, C, D\}$ (đó là $\binom{4}{3} = 4$ bộ) cùng cho một mặt phẳng, nên đếm thừa $4 - 1 = 3$. Đáp số: $10 - 3 = 7$ mặt phẳng: mặt phẳng $(ABCD)$ và $6$ mặt phẳng chứa $E$ (mỗi mặt chứa $E$ và một trong $\binom{4}{2} = 6$ cặp điểm).

a) Trong tứ diện $ABCD$ có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau?

b) Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trong $8$ cạnh của hình chóp có bao nhiêu cặp đường thẳng chứa cạnh mà chéo nhau?

Giải. a) Tứ diện có $6$ cạnh, tạo $\binom{6}{2} = 15$ cặp. Hai cạnh có chung một đỉnh thì cắt nhau; mỗi đỉnh có $3$ cạnh, cho $\binom{3}{2} = 3$ cặp, vậy có $4 \cdot 3 = 12$ cặp cắt nhau. Còn lại $15 - 12 = 3$ cặp cạnh chéo nhau, đó là các cặp cạnh đối $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$, $AD$ và $BC$.

b) $8$ cạnh cho $\binom{8}{2} = 28$ cặp. Cặp có chung đỉnh (cắt nhau): đỉnh $S$ có $4$ cạnh cho $\binom{4}{2} = 6$ cặp, mỗi đỉnh đáy có $3$ cạnh cho $3$ cặp, tổng $6 + 4 \cdot 3 = 18$ cặp. Hai cặp song song: $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Còn lại $28 - 18 - 2 = 8$ cặp chéo nhau, ví dụ $SA$ và $BC$, $SB$ và $CD$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi $ABCD$ mà $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$, và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Tìm giao tuyến của: a) $(SAB)$ và $(SCD)$; b) $(SAC)$ và $(SBD)$; c) $(SAD)$ và $(SBC)$.

Giải. a) $S$ là điểm chung. $E \in AB \subset (SAB)$ và $E \in CD \subset (SCD)$ nên $E$ cũng là điểm chung. Giao tuyến là $SE$.

b) $S$ là điểm chung. $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai. Giao tuyến là $SO$.

c) Tương tự, $S$ và $F$ là hai điểm chung, giao tuyến là $SF$.

Kiểm tra bằng toạ độ với $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(3;2;0)$, $D(0;3;0)$, $S(1;1;5)$: $E(9;0;0)$, $F(0;8;0)$, $O\left(\dfrac{36}{17}; \dfrac{24}{17}; 0\right)$, và các điểm này đều thoả phương trình hai mặt phẳng tương ứng.

Tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là điểm trên cạnh $AC$ với $AN = 2NC$. Tìm giao tuyến của $(DMN)$ và $(BCD)$.

Giải. $D$ là điểm chung thứ nhất. $MN$ và $BC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$; chúng không song song (vì $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac12 \neq \dfrac23 = \dfrac{AN}{AC}$), nên cắt nhau tại $E$. Khi đó $E \in MN \subset (DMN)$ và $E \in BC \subset (BCD)$, nên $E$ là điểm chung thứ hai. Giao tuyến là $DE$.

Thêm một bước: theo Menelaus trong tam giác $ABC$ với cát tuyến $MNE$: $\dfrac{MA}{MB}\cdot\dfrac{EB}{EC}\cdot\dfrac{NC}{NA} = 1$, suy ra $1 \cdot \dfrac{EB}{EC} \cdot \dfrac12 = 1$, tức $EB = 2EC$ và $C$ là trung điểm $BE$ (toạ độ cho $E = 2C - B$).