Ví dụ · Đổi điểm khi tính khoảng cách · Toán 11

Ví dụ 1 (hai lần đổi điểm)

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ , $SA = a$ . Gọi $M$ là trung điểm $SC$ . Tính $d(A, (SBD))$ , $d(C, (SBD))$ và $d(M, (SBD))$ .

(SBD) tô xanh; BD vuông góc (SAC) nên AK vuông góc SO thì AK vuông góc (SBD); M là trung điểm SC.

Giải. $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$ , do đó $(SBD) \perp (SAC)$ theo giao tuyến $SO$ ( $O$ là tâm hình vuông). Trong tam giác $SAO$ vuông tại $A$ kẻ $AK \perp SO$ thì $AK \perp (SBD)$ .

Với $AO = \dfrac{a\sqrt2}{2}$ :

\frac1{AK^2} = \frac1{SA^2} + \frac1{AO^2} = \frac1{a^2} + \frac2{a^2} = \frac3{a^2}, \qquad d(A, (SBD)) = \frac{a\sqrt3}{3}.

$AC$ cắt $(SBD)$ tại $O$ và $O$ là trung điểm $AC$ , nên $d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ .

$M$ nằm trên $SC$ , $S \in (SBD)$ và $SM = \dfrac12 SC$ , nên $d(M, (SBD)) = \dfrac12 d(C, (SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{6}$ .

Ví dụ 2 (đáy hình chữ nhật)

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = a$ , $AD = 2a$ , $SA \perp (ABCD)$ , $SA = a$ . Điểm $K$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AK = \dfrac{3a}{2}$ ; $N$ là trung điểm $SC$ . Tính $d(K, (SBD))$ và $d(N, (SBD))$ .

Giải. Trong mặt đáy kẻ $AI \perp BD$ tại $I$ ; do $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAI)$ và $(SBD) \perp (SAI)$ theo giao tuyến $SI$ . Kẻ $AH \perp SI$ thì $AH \perp (SBD)$ .

$BD = a\sqrt5$ , $AI = \dfrac{AB \cdot AD}{BD} = \dfrac{2a}{\sqrt5}$ . Suy ra

\frac1{AH^2} = \frac1{a^2} + \frac5{4a^2} = \frac9{4a^2}, \qquad d(A, (SBD)) = \frac{2a}{3}.

$AD$ cắt $(SBD)$ tại $D$ , $DK = AD - AK = \dfrac a2$ , nên $\dfrac{d(K, (SBD))}{d(A, (SBD))} = \dfrac{DK}{DA} = \dfrac14$ , tức $d(K, (SBD)) = \dfrac a6$ .
Tâm $O$ của đáy là trung điểm $AC$ và $O \in (SBD)$ nên $d(C, (SBD)) = \dfrac{2a}{3}$ . Vì $SN = \dfrac12 SC$ nên $d(N, (SBD)) = \dfrac a3$ .

Ví dụ 3 (kết hợp đường song song và tỉ số)

Hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng $a$ . Gọi $M$ là trung điểm $SA$ . Tính $d(M, (SCD))$ .

Tám cạnh bằng a nên SO = a√2/2; (SCD) tô xanh; M là trung điểm SA.

Giải. $S \in (SCD)$ và $M \in SA$ với $SM = \dfrac12 SA$ nên $d(M, (SCD)) = \dfrac12 d(A, (SCD))$ .

$AB \parallel CD$ nên $AB \parallel (SCD)$ , suy ra $d(A, (SCD)) = d(B, (SCD))$ ; đường thẳng $AO$ cắt $(SCD)$ tại $C$ với $O$ là trung điểm $AC$ nên $d(A, (SCD)) = 2\,d(O, (SCD))$ .

Chiều cao $SO = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$ . Gọi $I$ là trung điểm $CD$ : $OI = \dfrac a2$ , $SI = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ . Kẻ $OK \perp SI$ :

d(O, (SCD)) = \frac{SO \cdot OI}{SI} = \frac{\frac{a\sqrt2}{2} \cdot \frac a2}{\frac{a\sqrt3}{2}} = \frac{a\sqrt6}{6}.

Vậy $d(A, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$ và $d(M, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt6}{6}$ .

Ví dụ 4 (trọng tâm)

Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , $SA \perp (ABC)$ , $SA = a$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính $d(G, (SBC))$ .

Giải. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . $AM \perp BC$ và $SA \perp BC$ nên $BC \perp (SAM)$ ; kẻ $AH \perp SM$ thì $AH \perp (SBC)$ . Với $AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ :

d(A, (SBC)) = AH = \frac{SA \cdot AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \frac{a \cdot \frac{a\sqrt3}{2}}{\frac{a\sqrt7}{2}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}.

$G$ nằm trên $AM$ , $M \in (SBC)$ , $GM = \dfrac13 AM$ , nên $d(G, (SBC)) = \dfrac13 \cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{7} = \dfrac{a\sqrt{21}}{21}$ .

Ví dụ 5 (tỉ số lớn hơn 1)

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính $d(A', (BDC'))$ .

Giải. Đường chéo $A'C$ cắt $(BDC')$ tại điểm $G_2$ cách $C$ một đoạn bằng $\dfrac13 A'C$ (xem Ví dụ 4 bài 1). Do đó $\dfrac{A'G_2}{CG_2} = 2$ và

d(A', (BDC')) = 2\,d(C, (BDC')) = 2 \cdot \frac{a\sqrt3}{3} = \frac{2a\sqrt3}{3},

trong đó $d(C, (BDC')) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ từ hệ thức tứ diện vuông $C.BDC'$ có ba cạnh $CB = CD = CC' = a$ .

Đổi điểm khi tính khoảng cách

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (hai lần đổi điểm)

Ví dụ 2 (đáy hình chữ nhật)

Ví dụ 3 (kết hợp đường song song và tỉ số)

Ví dụ 4 (trọng tâm)

Ví dụ 5 (tỉ số lớn hơn 1)