Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 3$, $AD = 4$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 5$. Tính góc giữa: a) $SC$ và $(ABCD)$; b) $SB$ và $(ABCD)$; c) $SC$ và $(SAB)$.

Giải.

a) $A$ là hình chiếu của $S$, nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$; góc cần tìm là $\widehat{SCA}$. $AC = 5$, $\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = 1$, góc bằng $45^\circ$.

b) $AB$ là hình chiếu của $SB$: $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac53$, góc $\approx 59{,}0^\circ$.

c) $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$, do đó $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ và $SB$ là hình chiếu của $SC$. Góc cần tìm là $\widehat{CSB}$ (tam giác $CBS$ vuông tại $B$): $SC = 5\sqrt2$, $\sin\widehat{CSB} = \dfrac{CB}{SC} = \dfrac{4}{5\sqrt2} = \dfrac{2\sqrt2}5$, góc $\approx 34{,}4^\circ$.

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính góc giữa $BD'$ và $(ABCD)$.

Giải. $DD' \perp (ABCD)$ nên $BD$ là hình chiếu của $BD'$, góc cần tìm là $\widehat{D'BD}$. $BD = a\sqrt2$, $DD' = a$, nên $\tan\widehat{D'BD} = \dfrac{1}{\sqrt2}$, tức $\sin = \dfrac1{\sqrt3}$. Góc $\approx 35{,}3^\circ$.

Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $4$, hình chiếu vuông góc của $A'$ trên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $BC$, $AA' = 2\sqrt6$. Tính góc giữa $AA'$ và $(ABC)$.

Giải. $AH = 4\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = 2\sqrt3$. Tam giác $A'HA$ vuông tại $H$: $A'H = \sqrt{AA'^2 - AH^2} = \sqrt{24 - 12} = 2\sqrt3$. Vậy $\tan\widehat{A'AH} = \dfrac{A'H}{AH} = 1$ và góc bằng $45^\circ$.

Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $6$, hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$, cạnh bên $SA$ tạo với đáy góc $60^\circ$. Tính $SG$ và $SA$.

Giải. Trọng tâm cách đỉnh $\dfrac23$ trung tuyến: $AG = \dfrac23\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = 2\sqrt3$. Góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAG} = 60^\circ$ nên $SG = AG\tan60^\circ = 2\sqrt3\cdot\sqrt3 = 6$ và $SA = \dfrac{AG}{\cos60^\circ} = 4\sqrt3$. Do $G$ cách đều ba đỉnh nên cả ba cạnh bên đều bằng $4\sqrt3$ và cùng nghiêng $60^\circ$: đây chính là hình chóp tam giác đều.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 4$, $AD = 3$; tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$. Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$.

Giải. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Tam giác $SAB$ đều nên $SH \perp AB$; vì $(SAB) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB$ nên $SH \perp (ABCD)$ (mặt phẳng vuông góc, bài 5). Vậy $HC$ là hình chiếu của $SC$ trên đáy và góc cần tìm là $\widehat{SCH}$.

$SH = 4\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = 2\sqrt3$, $HC = \sqrt{HB^2 + BC^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$, $SC = \sqrt{12 + 13} = 5$. Vậy $\sin\widehat{SCH} = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{2\sqrt3}5$, tức $\tan = \dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{13}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{13}$ và góc $\approx 43{,}9^\circ$.