Hai mặt phẳng song song, hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(A'BD) \parallel (B'D'C)$ và đường chéo $AC'$ bị hai mặt phẳng này chia thành ba phần bằng nhau.

Giải. Tứ giác $A'BCD'$ là hình bình hành ($A'D' \parallel BC$ và $A'D' = BC$), nên $A'B \parallel D'C$; $D'C \subset (B'D'C)$ và $A'B \not\subset (B'D'C)$ suy ra $A'B \parallel (B'D'C)$. Tương tự $BD \parallel B'D'$ (hình bình hành $BB'D'D$) nên $BD \parallel (B'D'C)$. Hai đường $A'B$ và $BD$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong $(A'BD)$, do đó $(A'BD) \parallel (B'D'C)$.

Với phần sau, đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$, $\vec v = \overrightarrow{AD}$, $\vec w = \overrightarrow{AA'}$, thì $\overrightarrow{AC'} = \vec u + \vec v + \vec w$. Điểm $G = \dfrac{1}{3}(\vec u + \vec v + \vec w)$ là trọng tâm tam giác $A'BD$ (các đỉnh là $\vec w$, $\vec u$, $\vec v$) nên $G \in (A'BD)$ và $AG = \dfrac13 AC'$. Tương tự $H = \dfrac23(\vec u + \vec v + \vec w)$ là trọng tâm tam giác $B'D'C$ nên $AH = \dfrac23 AC'$. Vậy $AG = GH = HC' = \dfrac13 AC'$. Với hình lập phương cạnh $a$, mỗi phần bằng $\dfrac{a\sqrt3}{3}$.

Ba mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$, $(R)$ cắt cát tuyến thứ nhất tại $A, B, C$ và cát tuyến thứ hai tại $A', B', C'$. Biết $AB = 3$, $BC = 5$, $A'B' = 4{,}5$. Tính $B'C'$.

Giải. $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$ nên $B'C' = A'B' \cdot \dfrac{BC}{AB} = 4{,}5 \cdot \dfrac53 = 7{,}5$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $6 \times 3$ (diện tích $18$). Mặt phẳng $(\alpha)$ song song $(ABCD)$ cắt $SA, SB, SC, SD$ tại $M, N, P, Q$ với $SM = \dfrac23 SA$. Tính diện tích $MNPQ$ và $MN$.

Giải. Theo hệ quả Thales, $MNPQ$ đồng dạng $ABCD$ tỉ số $k = \dfrac23$, nên

$$S_{MNPQ} = \left(\frac23\right)^2\cdot 18 = 8, \qquad MN = \frac23 AB = 4.$$

Hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. $M$, $M'$ lần lượt là trung điểm $BC$, $B'C'$. Chứng minh $(AMC') \parallel (A'BM')$.

Giải. $AM \parallel A'M'$ vì $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AA'}$ nên $AA'M'M$ là hình bình hành (cạnh bên $AA' \parallel MM'$ và bằng nhau). $BM = M'C'$ (nửa $BC$ và nửa $B'C'$, hai đoạn song song cùng hướng) nên $BMC'M'$ là hình bình hành, suy ra $MC' \parallel BM'$. Như vậy:

• $AM \parallel A'M' \subset (A'BM')$ và $AM \not\subset (A'BM')$ nên $AM \parallel (A'BM')$;
• $MC' \parallel BM' \subset (A'BM')$ và $MC' \not\subset (A'BM')$ nên $MC' \parallel (A'BM')$.

$AM$ và $MC'$ cắt nhau tại $M$ và cùng thuộc $(AMC')$. Do đó $(AMC') \parallel (A'BM')$.

Trong hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi $(MNC')$ và so sánh $MN$ với đáy trên.

Giải. $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$: $MN \parallel BC$, $MN = \dfrac12 BC$. Hai đáy $(ABC) \parallel (A'B'C')$, mặt phẳng $(MNC')$ cắt $(ABC)$ theo $MN$ nên cắt $(A'B'C')$ theo đường thẳng qua $C'$ song song $MN$, tức song song $BC$ và $B'C'$. Qua $C'$ chỉ có một đường song song $B'C'$ (chính $B'C'$), vậy $(MNC') \cap (A'B'C') = B'C'$ và $B' \in (MNC')$.

Thiết diện là hình thang $MNC'B'$ ($MN \parallel B'C'$) với $MN = \dfrac12 B'C'$ (vì $B'C' = BC$).

Hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn $8$, cạnh đáy nhỏ $4$, chiều cao $6$. Tính chiều cao của hình chóp đầy đủ, trung đoạn, cạnh bên và diện tích xung quanh của hình chóp cụt.

Giải. Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{4}{8} = \dfrac12$. Gọi $H$ là chiều cao chóp đầy đủ: $\dfrac{H - 6}{H} = \dfrac12$, suy ra $H = 12$.

• Trung đoạn của chóp cụt là đoạn nối trung điểm hai cạnh đáy tương ứng: theo phương ngang chênh nhau $4 - 2 = 2$ (nửa cạnh), chiều cao $6$: $d = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$.
• Cạnh bên: theo phương ngang, đỉnh đáy lớn cách tâm $4\sqrt2$, đỉnh đáy nhỏ cách tâm $2\sqrt2$, chênh $2\sqrt2$; cạnh bên $\sqrt{(2\sqrt2)^2 + 6^2} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.
• Diện tích xung quanh: bốn hình thang cân, mỗi hình $\dfrac{8 + 4}{2}\cdot 2\sqrt{10} = 12\sqrt{10}$. Vậy $S_{xq} = 48\sqrt{10}$.

Diện tích hai đáy: $64$ và $16$, tỉ số $\dfrac14 = k^2$.