Hai đường thẳng song song

Tứ diện $ABCD$ có $AC = 6$, $BD = 8$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành và tính chu vi.

Giải. Trong tam giác $ABC$: $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel AC$, $MN = \dfrac12 AC = 3$. Trong tam giác $ADC$: $QP \parallel AC$, $QP = \dfrac12 AC = 3$. Do đó $MN \parallel QP$ (bắc cầu) và $MN = QP$, nên $MNPQ$ là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau). Tương tự trong các tam giác $BCD$ và $BAD$: $NP = MQ = \dfrac12 BD = 4$.

Chu vi $= 2(3 + 4) = 14$.

Với một tứ diện cụ thể thoả $AC = 6$, $BD = 8$, $AC \perp BD$ (tứ diện có hai cạnh đối vuông góc, xem chương vuông góc), $MNPQ$ còn là hình chữ nhật diện tích $3 \cdot 4 = 12$. Toạ độ xác nhận cả hai kết quả.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $G_1$, $G_2$ là trọng tâm các tam giác $SAB$, $SAD$. Chứng minh $G_1G_2 \parallel BD$ và tính $G_1G_2$ theo $BD$.

Giải. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Khi đó $G_1 \in SM$, $G_2 \in SN$ với $\dfrac{SG_1}{SM} = \dfrac{SG_2}{SN} = \dfrac23$. Trong tam giác $SMN$, theo Thales đảo ta có $G_1G_2 \parallel MN$ và $G_1G_2 = \dfrac23 MN$. Trong tam giác $ABD$, $MN$ là đường trung bình: $MN \parallel BD$, $MN = \dfrac12 BD$. Vậy $G_1G_2 \parallel BD$ (bắc cầu) và

$$G_1G_2 = \frac23\cdot\frac12 BD = \frac13 BD.$$

Số liệu: đáy $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(1;3;0)$, $S(2;1;6)$ cho $BD = 3\sqrt2$ và $G_1G_2 = \sqrt2$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB \parallel CD$, $AB = 4$, $CD = 2$. Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.

Giải. $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng. $AB \subset (SAB)$, $CD \subset (SCD)$, $AB \parallel CD$ và $AB \neq CD$ (khác đường thẳng). Theo hệ quả của định lí giao tuyến, giao tuyến là đường thẳng $Sx$ qua $S$ và song song với $AB$ (và $CD$).

Với hình chóp ở Ví dụ 3, lấy $M \in SC$ sao cho $SM = \dfrac23 SC$. Tìm giao điểm $N$ của $SD$ với mặt phẳng $(MAB)$ và tính $MN$.

Giải. $(MAB)$ chứa $AB \parallel CD$ và $CD \subset (SCD)$. Hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $M$ nên cắt nhau theo đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ (hệ quả trên). Đường này nằm trong $(SCD)$ nên cắt $SD$ tại $N$:

$$N = SD \cap (MAB), \qquad MN \parallel CD.$$

Trong tam giác $SCD$, $MN \parallel CD$ nên $\dfrac{SN}{SD} = \dfrac{SM}{SC} = \dfrac23$ và $MN = \dfrac23 CD = \dfrac43$. Mặt cắt $ABMN$ là hình thang ($AB \parallel MN$) với $AB = 4$, $MN = \dfrac43$. Toạ độ ($A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(3;2;0)$, $D(1;2;0)$, $S(1;1;5)$) cho $N = S + \dfrac23(D - S)$, $MN = \dfrac43$.

Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành, $M \in SA$, $N \in SB$ với $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac13$. Chứng minh $MN \parallel CD$.

Giải. Trong tam giác $SAB$, $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}$ nên $MN \parallel AB$ (Thales đảo), và $MN = \dfrac13 AB$. Mà $AB \parallel CD$ (đáy hình bình hành) nên $MN \parallel CD$ (bắc cầu).

Kiểm tra số trên hình chóp có đáy $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(5;3;0)$, $D(1;3;0)$, $S(2;1;6)$: $MN \parallel AB$ và $MN = \dfrac13 AB$. Nhận xét thêm: với đáy này, $AD \parallel BC$ nên giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường qua $S$ song song với $AD$.