Ví dụ · Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng · Toán 11

Ví dụ 1 (điểm đến mặt phẳng, chân đường cao)

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ , $SA = a\sqrt3$ . Tính $d(A, (SBC))$ .

SA = a√3, đáy là hình vuông cạnh a; (SBC) tô xanh, AH vuông góc SB nên AH vuông góc (SBC).

Giải. $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$ , suy ra $(SBC) \perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$ . Trong tam giác $SAB$ kẻ $AH \perp SB$ thì $AH \perp (SBC)$ , nên $d(A, (SBC)) = AH$ .

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ : $SB = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$ , do đó

AH = \frac{SA \cdot AB}{SB} = \frac{a\sqrt3 \cdot a}{2a} = \frac{a\sqrt3}{2}.

Ví dụ 2 (đường thẳng song song mặt phẳng)

Hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a$ , chiều cao $SO = a$ . Tính $d(AB, (SCD))$ .

CD vuông góc (SOI), nên (SCD) vuông góc (SOI) theo giao tuyến SI; OK vuông góc SI thì OK vuông góc (SCD).

Giải. $AB \parallel CD$ và $CD \subset (SCD)$ nên $AB \parallel (SCD)$ , do đó $d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD))$ . Đường thẳng $AO$ cắt $(SCD)$ tại $C$ và $O$ là trung điểm $AC$ nên $d(A, (SCD)) = 2\,d(O, (SCD))$ (lập luận này sẽ được phát biểu thành quy tắc ở bài sau).

Gọi $I$ là trung điểm $CD$ . Khi đó $CD \perp OI$ và $CD \perp SO$ nên $CD \perp (SOI)$ , suy ra $(SCD) \perp (SOI)$ theo giao tuyến $SI$ . Trong tam giác $SOI$ vuông tại $O$ kẻ $OK \perp SI$ thì $OK \perp (SCD)$ .

Ta có $OI = \dfrac a2$ , $SI = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$ , nên

d(O, (SCD)) = OK = \frac{SO \cdot OI}{SI} = \frac{a \cdot \frac a2}{\frac{a\sqrt5}{2}} = \frac{a\sqrt5}{5}.

Vậy $d(AB, (SCD)) = \dfrac{2a\sqrt5}{5}$ .

Ví dụ 3 (lăng trụ đều)

Lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy $a$ và $AA' = a\sqrt3$ . Tính $d(A, (A'BC))$ .

BC vuông góc (AA'M); (A'BC) vuông góc (AA'M) theo giao tuyến A'M nên AH vuông góc A'M thì AH vuông góc (A'BC).

Giải. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Tam giác $ABC$ đều nên $AM \perp BC$ , mà $AA' \perp BC$ , vì vậy $BC \perp (AA'M)$ và $(A'BC) \perp (AA'M)$ theo giao tuyến $A'M$ . Kẻ $AH \perp A'M$ thì $AH \perp (A'BC)$ .

Với $AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , $A'M = \sqrt{3a^2 + \dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$ :

AH = \frac{AA' \cdot AM}{A'M} = \frac{a\sqrt3 \cdot \frac{a\sqrt3}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}.

Ví dụ 4 (hai mặt phẳng song song)

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Chứng minh $(AB'D') \parallel (BDC')$ và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.

A'C vuông góc với cả hai mặt phẳng; A'G1 = G1G2 = G2C = a√3/3.

Giải. $AB' \parallel DC'$ và $AD' \parallel BC'$ (các cặp cạnh đối của hai hình bình hành $AB'C'D$ , $ABC'D'$ ), mà $AB'$ , $AD'$ cắt nhau nên $(AB'D') \parallel (BDC')$ .

Đường chéo $A'C$ vuông góc với cả hai mặt phẳng; gọi $G_1$ , $G_2$ lần lượt là giao điểm của $A'C$ với $(AB'D')$ và $(BDC')$ . Tứ diện $A'.AB'D'$ có $A'A$ , $A'B'$ , $A'D'$ đôi một vuông góc và cùng bằng $a$ , nên theo hệ thức tứ diện vuông

\frac1{A'G_1^2} = \frac3{a^2}, \qquad A'G_1 = \frac{a}{\sqrt3} = \frac{a\sqrt3}{3}.

Tương tự $CG_2 = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ . Vì $A'C = a\sqrt3$ nên

d\big((AB'D'), (BDC')\big) = G_1G_2 = a\sqrt3 - \frac{2a\sqrt3}{3} = \frac{a\sqrt3}{3}.

Ví dụ 5 (tứ diện vuông)

Tứ diện $OABC$ có $OA = a$ , $OB = OC = 2a$ và $OA$ , $OB$ , $OC$ đôi một vuông góc. Tính $d(O, (ABC))$ .

Giải. Theo hệ thức tứ diện vuông,

\frac1{d^2} = \frac1{a^2} + \frac1{4a^2} + \frac1{4a^2} = \frac{3}{2a^2}, \qquad d = a\sqrt{\frac23} = \frac{a\sqrt6}{3}.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (điểm đến mặt phẳng, chân đường cao)

Ví dụ 2 (đường thẳng song song mặt phẳng)

Ví dụ 3 (lăng trụ đều)

Ví dụ 4 (hai mặt phẳng song song)

Ví dụ 5 (tứ diện vuông)