Vectơ trong không gian

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đặt $\vec a = \overrightarrow{AB}$, $\vec b = \overrightarrow{AD}$, $\vec c = \overrightarrow{AA'}$.

a) Rút gọn $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$.

b) $M$ là trung điểm $CC'$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$.

c) Biểu diễn $\overrightarrow{BD'}$.

Giải.

a) $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'}$, nên tổng $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$.

b) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = (\vec a + \vec b) + \dfrac12\overrightarrow{CC'} = \vec a + \vec b + \dfrac12\vec c$.

c) $\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = -\vec a + \vec b + \vec c$.

Tứ diện $ABCD$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $CD$.

a) Chứng minh trung điểm $G$ của $MN$ thoả $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec 0$.

b) Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$. Tính $AG$.

Giải.

a) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$, $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$. Tổng $= 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = \vec 0$ vì $G$ là trung điểm $MN$.

b) $\overrightarrow{AG} = \dfrac14(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$ (lấy $O = A$). Ba vectơ cùng độ dài $a$, từng đôi hợp góc $60^\circ$ nên tích vô hướng mỗi cặp bằng $\dfrac{a^2}2$: $\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right)^2 = 3a^2 + 6\cdot\dfrac{a^2}2 = 6a^2.$ Vậy $AG = \dfrac14\cdot a\sqrt6 = \dfrac{a\sqrt6}4$.

Tứ diện $ABCD$. Điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM = \dfrac13AB$, điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $CN = \dfrac13CD$. Chứng minh ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$ đồng phẳng.

Giải. $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$, với $\overrightarrow{MA} = -\dfrac13\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CN} = \dfrac13\overrightarrow{CD}$. Gộp: $\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$). Do đó $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \dfrac13\left(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac23\overrightarrow{AC} + \dfrac13\overrightarrow{BD}.$ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương (hai cạnh chéo nhau) nên ba vectơ đồng phẳng.

Tổng quát: với $AM = k\,AB$ và $CN = k\,CD$ thì $\overrightarrow{MN} = (1-k)\overrightarrow{AC} + k\,\overrightarrow{BD}$; điều này giải thích vì sao $MN$ luôn song song với một mặt phẳng chứa $AC$ và song song $BD$.

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = AD = 2$, $AA' = 3$, $\widehat{BAD} = 90^\circ$, $\widehat{BAA'} = \widehat{DAA'} = 60^\circ$. Tính $AC'$; chứng minh $AC' \perp BD$; tính $\cos(\overrightarrow{AC'}, \overrightarrow{AA'})$.

Giải. Đặt $\vec a = \overrightarrow{AB}$, $\vec b = \overrightarrow{AD}$, $\vec c = \overrightarrow{AA'}$: $\vec a^2 = \vec b^2 = 4$, $\vec c^2 = 9$, $\vec a\cdot\vec b = 0$, $\vec a\cdot\vec c = \vec b\cdot\vec c = 2\cdot3\cdot\dfrac12 = 3$.

• $\overrightarrow{AC'} = \vec a + \vec b + \vec c$. $AC'^2 = 4 + 4 + 9 + 2(0 + 3 + 3) = 29$, nên $AC' = \sqrt{29}$.
• $\overrightarrow{BD} = \vec b - \vec a$. $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD} = (\vec a + \vec b + \vec c)\cdot(\vec b - \vec a) = \vec b^2 - \vec a^2 + \vec c\cdot\vec b - \vec c\cdot\vec a = 0 + 3 - 3 = 0$. Vậy $AC' \perp BD$.
• $\overrightarrow{AC'}\cdot\vec c = 3 + 3 + 9 = 15$, nên $\cos = \dfrac{15}{3\sqrt{29}} = \dfrac{5}{\sqrt{29}}$.

Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$. Chứng minh $AB \perp CD$.

Giải. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{a^2}2 - \dfrac{a^2}2 = 0$.